Gabarito e resolução da prova de matemática EEAR – CFS 1/2027

Nesta página, você encontra a resolução comentada da prova de Matemática da EEAR – CFS 1/2027 – código 21 da Escola de Especialistas de Aeronáutica, com explicações diretas, gabarito comentado e dicas de prova.

QUESTÃO 25

Um professor de matemática da Força Aérea Brasileira desafiou os alunos a determinar o número de anagramas da palavra FORÇA que começam com F. Então a quantidade de anagramas é _____.

a) 120
b) 100
c) 48
d) 24

GABARITO D

Como o anagrama deve começar com F, essa letra fica fixa na primeira posição.

Restam as letras O, R, Ç e A para serem organizadas nas 4 posições restantes.

4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24

Logo, a quantidade de anagramas é 24.

QUESTÃO 26

João está parado no ponto Z, enquanto Pedro caminha em linha reta do ponto X ao ponto Y. Pedro vê João da seguinte forma: quando está em X, tem-se Z\hat{X}Y = 60^\circ e, quando está em Y, tem-se Z\hat{Y}X = 45^\circ. Considerando os pontos X, Y e Z em um mesmo plano, o ângulo X\hat{Z}Y mede _______.

a) 30^\circ
b) 45^\circ
c) 60^\circ
d) 75^\circ

GABARITO D

Nessa questão, os ângulos dados são ângulos do triângulo XYZ:

Z\hat{X}Y = 60^\circ Z\hat{Y}X = 45^\circ

Queremos encontrar o ângulo:

X\hat{Z}Y

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^\circ, temos:

60^\circ + 45^\circ + X\hat{Z}Y = 180^\circ 105^\circ + X\hat{Z}Y = 180^\circ X\hat{Z}Y = 75^\circ

Portanto, o ângulo X\hat{Z}Y mede 75^\circ.

QUESTÃO 27

Um avião, em uma decolagem, imediatamente após sair do chão, desloca-se 1000 m em uma trajetória linear que forma 30^\circ com o plano horizontal. A quantos metros de altura, em relação à pista, o avião está após esse deslocamento?

a) 200 m
b) 500 m
c) 800 m
d) 1000 m

GABARITO B

A trajetória do avião, o solo e a altura formam um triângulo retângulo.

O deslocamento de 1000 m é a hipotenusa, e a altura procurada é o cateto oposto ao ângulo de 30^\circ.

\sin 30^\circ = \frac{h}{1000}

Como:

\sin 30^\circ = \frac{1}{2}

Temos:

\frac{1}{2} = \frac{h}{1000} h = 500

Logo, o avião está a 500 m de altura.

QUESTÃO 28

Se AB é diâmetro da circunferência, então o menor dos arcos com extremidades em A e C mede _____.

a) 100^\circ
b) 110^\circ
c) 130^\circ
d) 140^\circ

GABARITO B

O ângulo de 35^\circ é um ângulo inscrito na circunferência.

Ele intercepta o arco de extremidades B e C. Logo, a medida desse arco é o dobro da medida do ângulo inscrito.

\widehat{BC} = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ

Como AB é diâmetro, o arco superior de A até B mede 180^\circ.

Assim:

\widehat{AC} + \widehat{CB} = 180^\circ \widehat{AC} + 70^\circ = 180^\circ \widehat{AC} = 110^\circ

Portanto, o menor arco com extremidades em A e C mede 110^\circ.

QUESTÃO 29

Sejam A, B, C e D pontos de uma circunferência e P um ponto externo a ela, sendo todos no mesmo plano. Os pontos P, A e B são colineares, assim como os pontos P, C e D. Se PA = 6 cm, AB = 8 cm, PC = 8 cm, e sabendo que C está entre P e D, tem-se que CD é igual a ______ cm.

a) 2{,}5
b) 3{,}5
c) 5
d) 6

GABARITO A

Como P é um ponto externo à circunferência e há duas secantes, usamos a relação entre os segmentos secantes:

PA \cdot PB = PC \cdot PD

Como PA = 6 cm e AB = 8 cm, temos:

PB = PA + AB PB = 6 + 8 = 14

Como PC = 8 cm e queremos CD = x, temos:

PD = PC + CD PD = 8 + x

Substituindo na relação das secantes:

6 \cdot 14 = 8(8+x) 84 = 64 + 8x 20 = 8x x = 2{,}5

Portanto:

CD = 2{,}5 \text{ cm}

QUESTÃO 30

A tabela apresenta os gastos diários de Joelson em uma padaria, no mês de janeiro de 2023. Valor em reais:

O valor mediano, isto é, a mediana desses gastos, é _______.

a) 28
b) 30
c) 35
d) 40

GABARITO C

Como janeiro possui 31 dias, temos uma quantidade ímpar de dados.

A posição da mediana é dada por:

\frac{31+1}{2} = 16

Logo, devemos encontrar o 16º valor na ordem crescente.

Organizando pela frequência:

28 \text{ aparece em } 3 \text{ dias} 30 \text{ aparece em } 9 \text{ dias} 35 \text{ aparece em } 6 \text{ dias}

Até o valor 28, temos:

3 \text{ valores}

Até o valor 30, temos:

3 + 9 = 12 \text{ valores}

Até o valor 35, temos:

12 + 6 = 18 \text{ valores}

Portanto, o 16º valor está no grupo dos gastos de 35 reais.

Assim, a mediana é 35.

QUESTÃO 31

Se \log_a 2 = 10 e \log_a 5 = 23, então o valor de \log_a 200 é ______.

a) 56
b) 66
c) 76
d) 86

GABARITO C

Observe que:

200 = 2^3 \cdot 5^2

Então:

\log_a 200 = \log_a(2^3 \cdot 5^2)

Aplicando as propriedades dos logaritmos:

\log_a 200 = \log_a 2^3 + \log_a 5^2 \log_a 200 = 3\log_a 2 + 2\log_a 5

Substituindo os valores dados:

\log_a 200 = 3 \cdot 10 + 2 \cdot 23 \log_a 200 = 30 + 46 = 76

QUESTÃO 32

Qual das alternativas apresenta uma equação polinomial cujo produto de suas raízes é 6?

a) x^2 – 3x – 6 = 0
b) x^3 – 6x + 6 = 0
c) x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0
d) x^3 + 6x^2 – 11x + 6 = 0

GABARITO C

Para uma equação cúbica da forma:

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

O produto das raízes é dado por:

\frac{-d}{a}

Analisando as alternativas cúbicas:

Na alternativa b:

x^3 – 6x + 6 = 0

Temos a = 1 e d = 6, então:

\frac{-d}{a} = \frac{-6}{1} = -6

Na alternativa c:

x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0

Temos a = 1 e d = -6, então:

\frac{-d}{a} = \frac{-(-6)}{1} = 6

Logo, a equação cujo produto das raízes é 6 é:

x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0

QUESTÃO 33

Um valor de x para o qual a função definida por y = 3x^2 – 4x + 1 tenha imagem igual a 120 é ______.

a) 6
b) 7
c) 8
d) 9

GABARITO B

Queremos que a imagem da função seja igual a 120. Então:

3x^2 – 4x + 1 = 120

Passando todos os termos para o primeiro membro:

3x^2 – 4x – 119 = 0

Testando as alternativas, para x = 7:

y = 3 \cdot 7^2 – 4 \cdot 7 + 1 y = 3 \cdot 49 – 28 + 1 y = 147 – 28 + 1 = 120

Logo, um valor de x é 7.

QUESTÃO 34

Considere uma esfera inscrita num cubo de área total 600 \text{ cm}^2. Assim, a esfera tem, respectivamente, ________ \text{cm}^2 de área de superfície e _________ \text{cm}^3 de volume.

a) 100\pi; \frac{100\pi}{3}
b) 100\pi; \frac{500\pi}{3}
c) 400\pi; \frac{1000\pi}{3}
d) 400\pi; \frac{4000\pi}{3}

GABARITO B

A área total de um cubo de aresta a é dada por:

A_T = 6a^2

Como a área total é 600 \text{ cm}^2, temos:

6a^2 = 600 a^2 = 100 a = 10

Como a esfera está inscrita no cubo, seu diâmetro é igual à aresta do cubo.

2r = 10 r = 5

A área da superfície da esfera é:

A = 4\pi r^2 A = 4\pi \cdot 5^2 A = 100\pi

O volume da esfera é:

V = \frac{4}{3}\pi r^3 V = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 V = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 V = \frac{500\pi}{3}

QUESTÃO 35

Calcule x e y de modo que x + yi = \frac{6}{2+\sqrt{2i}}.

a) x = 2 e y = \sqrt{2}
b) x = -2 e y = \sqrt{2}
c) x = 2 e y = -\sqrt{2}
d) x = -2 e y = -\sqrt{2}

GABARITO X

Da maneira proposta:

x+yi=\frac{6}{2+\sqrt{2i}}

Teríamos:

x+yi=\frac{6}{2+\sqrt{2i}}\cdot\frac{2-\sqrt{2i}}{2-\sqrt{2i}}=\frac{6(2-\sqrt{2i})}{2^2-(\sqrt{2i})^2}=\frac{6(2-\sqrt{2i})}{4-2i}

Assim, precisaríamos agora multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de 4-2i.

x+yi=\frac{6(2-\sqrt{2i})}{4-2i}\cdot\frac{4+2i}{4+2i}=\frac{6(2-\sqrt{2i})(4+2i)}{4^2-(2i)^2} x+yi=\frac{6(2-\sqrt{2i})(4+2i)}{16-4(-1)} x+yi=\frac{6(2-\sqrt{2i})(4+2i)}{20}=\frac{3(2-\sqrt{2i})(4+2i)}{10}

Onde, mesmo sem terminar a distributiva, é possível perceber que não há resposta.

Fica claro que a intenção da questão era que o denominador inicial fosse 2+\sqrt{2}i, ao invés de 2+\sqrt{2i}.

x+yi=\frac{6}{2+\sqrt{2}i}\cdot\frac{2-\sqrt{2}i}{2-\sqrt{2}i} x+yi=\frac{6(2-\sqrt{2}i)}{2^2-(\sqrt{2}i)^2} x+yi=\frac{6(2-\sqrt{2}i)}{4-2i^2} x+yi=\frac{6(2-\sqrt{2}i)}{4-2(-1)} x+yi=\frac{6(2-\sqrt{2}i)}{6}=2-\sqrt{2}i

Assim, x=2 e y=-\sqrt{2}, mas, da maneira que foi proposto, pela digitação EXPLÍCITA de 2+\sqrt{2i}, a questão não possui opção correta e deve ser ANULADA.

QUESTÃO 36

Os prolongamentos de 2 lados consecutivos de um polígono regular se encontram formando um ângulo de 120^\circ. O número de diagonais desse polígono é _______.

a) 27
b) 35
c) 44
d) 54

GABARITO X

Da maneira proposta, “os prolongamentos de 2 lados consecutivos de um polígono regular se encontram formando um ângulo de 120^\circ”, não cabe falar de encontro dos prolongamentos, pois 2 lados consecutivos já possuem como encontro o próprio vértice do polígono.

Da maneira proposta, teríamos:

Dessa forma, 120^\circ seria o próprio ângulo interno do polígono regular em questão, e esse polígono seria o hexágono regular, que possui:

D=\frac{6(6-3)}{2}=9

diagonais.

Que não possui opção correta.

A ideia que provavelmente foi pensada, mas transmitida de maneira equivocada, foi de que 2 lados não consecutivos, como \overline{AB} e \overline{CD}, formam um ângulo de 120^\circ e, assim, teríamos:

a_e+a_e+120^\circ=180^\circ \Rightarrow 2a_e=60^\circ \Rightarrow a_e=30^\circ \Rightarrow n=12

Assim:

D=\frac{12(12-3)}{2}=6\cdot 9=54

diagonais.

Podemos ver CLARAMENTE que a questão correta deveria ser proposta de maneira DIFERENTE da questão proposta na prova e, dessa maneira, a questão deve ser ANULADA.

QUESTÃO 37

As medidas dos lados de um triângulo estão em Progressão Aritmética de razão r = 3. Sendo b a medida do menor lado, dentre as alternativas, qual seria um possível valor para b?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

GABARITO D

Como os lados estão em Progressão Aritmética de razão 3 e b é o menor lado, as medidas são:

b,\ b+3,\ b+6

Para que esses três segmentos formem um triângulo, a soma dos dois menores lados deve ser maior que o maior lado.

b + (b+3) > b+6 2b + 3 > b + 6 b > 3

Entre as alternativas, o único valor maior que 3 é 4.

QUESTÃO 38

Assinale a alternativa que completa a frase abaixo, observando a ordem.

Se \pi < x < \frac{3\pi}{2}, então a função f(x) = \cos x é _______________ e a função g(x) = \tg x é _______________.

a) crescente – crescente
b) crescente – decrescente
c) decrescente – crescente
d) decrescente – decrescente

GABARITO A

O intervalo \pi < x < \frac{3\pi}{2} corresponde ao terceiro quadrante.

Nesse intervalo, a função cosseno vai de -1 até 0. Portanto, seus valores aumentam.

Logo, f(x) = \cos x é crescente.

Além disso, a função tangente é crescente em cada intervalo em que está definida.

Assim, em \pi < x < \frac{3\pi}{2}, a função g(x) = \tg x também é crescente.

QUESTÃO 39

As retas t e u concorrem em A e cortam as retas paralelas r e s, conforme mostra a figura. Se A(-1,3), B(-2,0), C\left(-\frac{1}{3},\frac{5}{3}\right), D(-4,-6) e E(1,-1), então a área do trapézio BCED é, aproximadamente, ________.

a) 12{,}22
b) 13{,}33
c) 14{,}44
d) 15{,}55

GABARITO B

Para calcular a área do trapézio BCED, podemos usar a fórmula da área de um polígono pelas coordenadas dos vértices.

Tomando os pontos na ordem B, C, E e D, temos:

B(-2,0),\ C\left(-\frac{1}{3},\frac{5}{3}\right),\ E(1,-1),\ D(-4,-6)

A área é dada por:

A=\frac{1}{2}\left|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_4+x_4y_1-(y_1x_2+y_2x_3+y_3x_4+y_4x_1)\right|

Substituindo:

A=\frac{1}{2}\left|\left(-2\cdot\frac{5}{3}\right)+\left(-\frac{1}{3}\cdot(-1)\right)+(1\cdot(-6))+(-4\cdot0)-\left(0\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{5}{3}\cdot1+(-1)\cdot(-4)+(-6)\cdot(-2)\right)\right| A=\frac{1}{2}\left|\left(-\frac{10}{3}+\frac{1}{3}-6+0\right)-\left(0+\frac{5}{3}+4+12\right)\right| A=\frac{1}{2}\left|\left(-9\right)-\left(\frac{53}{3}\right)\right| A=\frac{1}{2}\left|\frac{-27-53}{3}\right| A=\frac{1}{2}\cdot\frac{80}{3} A=\frac{40}{3} A\approx 13{,}33

Portanto, a área do trapézio BCED é, aproximadamente, 13{,}33.

QUESTÃO 40

O gráfico apresenta o número de meses que os pacientes de uma clínica de apoio a dependentes químicos ficaram internados antes de concluírem o tratamento. Com base nesse gráfico e no conceito de Moda, o tempo mais comum de internação dos pacientes foi de _______ meses.

a) 5
b) 7
c) 9
d) 11

GABARITO B

A Moda é o valor, ou intervalo, que aparece com maior frequência.

Observando o histograma, a barra mais alta corresponde ao intervalo de 6 a 8 meses.

Como as alternativas apresentam valores únicos, usamos o ponto médio desse intervalo:

\frac{6+8}{2}=7

Portanto, o tempo mais comum de internação foi de 7 meses.

QUESTÃO 41

Ao dividir o polinômio f(x)=3x^2-x+6 por x-2, tem-se como resto o valor _______

a) 8

b) 12

c) 14

d) 16

GABARITO D

f(2)=3\cdot 2^2-2+6 f(2)=12-2+6=16

QUESTÃO 42

Ao somar as idades, em anos, de A e B, tem-se 20; de B e C, 37; e de A e C, 33. Em ordem crescente de idade, tem-se como sequência:

a) A, B e C.

b) A, C e B.

c) B, A e C.

d) C, B e A.

GABARITO A

Pelos dados do enunciado:

A+B=20 B+C=37 A+C=33

Somando as três equações:

2A+2B+2C=20+37+33 2(A+B+C)=90 A+B+C=45

Como A+B=20, então:

C=45-20=25

Como A+C=33, então:

A+25=33 A=8

Como A+B=20, então:

8+B=20 B=12

Logo, as idades são:

A=8,\quad B=12,\quad C=25

Em ordem crescente:

A,\ B,\ C

QUESTÃO 43

A função real f(x)=a^x+b passa pelos pontos A(0,3) e B\left(\frac{1}{2},5\right). O valor de f(1) é _______

a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

GABARITO B

Como a função passa por A(0,3), temos:

f(0)=3 a^0+b=3 1+b=3 b=2

Como a função passa por B\left(\frac{1}{2},5\right), temos:

f\left(\frac{1}{2}\right)=5 a^{\frac{1}{2}}+2=5 \sqrt{a}=3 a=9

Assim:

f(x)=9^x+2

Logo:

f(1)=9^1+2=11

QUESTÃO 44

Os pontos A(0,0), B(-3,3) e C(4,4) são vértices de um triângulo. Considerando 1{,}4^2=2, o perímetro desse triângulo é ______

a) 10,2

b) 12,4

c) 14,6

d) 16,8

GABARITO D

Calculando a distância entre A e B:

AB=\sqrt{(-3-0)^2+(3-0)^2} AB=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}

Calculando a distância entre A e C:

AC=\sqrt{(4-0)^2+(4-0)^2} AC=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}

Calculando a distância entre B e C:

BC=\sqrt{(4-(-3))^2+(4-3)^2} BC=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}

Logo, o perímetro é:

P=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}+5\sqrt{2} P=12\sqrt{2}

Como 1{,}4^2=2, então \sqrt{2}=1{,}4. Assim:

P=12\cdot 1{,}4=16{,}8

QUESTÃO 45

Alguns vídeos disponíveis na internet seguem uma mesma ideia. Dentre eles, há um tipo de vídeo no qual o youtuber pergunta para uma pessoa se ela quer receber um certo valor em dinheiro, ou se ele “dobra o valor” e oferece para outra pessoa. Se um youtuber oferecer \text{R\$ }10{,}00 para a primeira pessoa e as 10 primeiras pessoas preferirem não receber o valor, qual seria o valor, em reais, oferecido à 11^{\text{a}} pessoa?

a) 120

b) 1.200

c) 10.240

d) 20.480

GABARITO C

O valor oferecido dobra a cada pessoa.

Para a 1ª pessoa, o valor é:

10

Para a 2ª pessoa:

10\cdot 2

Para a 3ª pessoa:

10\cdot 2^2

Seguindo esse padrão, para a 11ª pessoa, o valor será:

10\cdot 2^{10}

Como:

2^{10}=1024

temos:

10\cdot 1024=10240

QUESTÃO 46

Em que quadrante está a extremidade do arco de 118\cdot \frac{\pi}{9}\text{ rad}?

a) 1º quadrante.

b) 2º quadrante.

c) 3º quadrante.

d) 4º quadrante.

GABARITO C

Vamos converter o arco para graus:

118\cdot \frac{\pi}{9}\text{ rad}=118\cdot \frac{180^\circ}{9} 118\cdot 20^\circ=2360^\circ

Agora, reduzimos módulo 360^\circ:

2360^\circ=6\cdot 360^\circ+200^\circ

Logo, o arco é côngruo a:

200^\circ

Como:

180^\circ<200^\circ<270^\circ

a extremidade do arco está no 3º quadrante.

QUESTÃO 47

Seja A=(a_{ij}) uma matriz quadrada de 2ª ordem, com a_{ij}=i^3-ij. Nessas condições, o valor do \det A é _

a) -6

b) 0

c) 6

d) 8

GABARITO C

Como a matriz é de 2ª ordem, temos i,j\in{1,2}.

Calculando os elementos:

a_{11}=1^3-1\cdot 1=0 a_{12}=1^3-1\cdot 2=-1 a_{21}=2^3-2\cdot 1=6 a_{22}=2^3-2\cdot 2=4

Logo:

A=\left(\begin{array}{cc}0&-1\\6&4\end{array}\right)

Agora, calculando o determinante:

\det A=0\cdot 4-(-1)\cdot 6 \det A=6

QUESTÃO 48

Em um estacionamento há 80 carros, sendo que 25 são brancos, 32 são pratas e 18 são pretos. A probabilidade de se escolher, aleatoriamente, um desses carros, sem que seja das cores citadas é _

a) 6,25%

b) 6,95%

c) 7,25%

d) 7,95%

GABARITO A

Primeiro, somamos os carros das cores citadas:

25+32+18=75

Como há 80 carros no total, a quantidade de carros que não são das cores citadas é:

80-75=5

Assim, a probabilidade pedida é:

\frac{5}{80}

Simplificando:

\frac{5}{80}=\frac{1}{16}=0{,}0625

Transformando em porcentagem:

0{,}0625\cdot 100\%=6{,}25\%