Gabarito e resolução da prova de matemática EPCAR 2027 – Versão A

QUESTÃO 17

Considere x e y números reais distintos e diferentes de zero.

Sabe-se que:

x^2=12+3xy y^2=12+3xy

Então, o valor da expressão \sqrt{xy} é um número múltiplo de:

a) 2

b) 5

c) 7

d) 13

GABARITO (ANULADA)

Sabe-se que:

\begin{cases} x^2=12y+3xy\\ y^2=12x+3xy \end{cases}

Somando as duas equações, temos:

x^2+y^2=12(x+y)+6xy

Como:

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy

Substituindo:

(x+y)^2-2xy=12(x+y)+6xy (x+y)^2=12(x+y)+8xy

Agora, subtraindo a segunda equação da primeira:

x^2-y^2=12y-12x (x+y)(x-y)=12(y-x)

Como:

y-x=-(x-y)

Temos:

(x+y)(x-y)=-12(x-y)

Colocando todos os termos de um lado:

(x-y)(x+y+12)=0

Como o enunciado afirma que x e y são distintos, então:

x-y\neq 0

Logo:

x+y+12=0

Portanto:

x+y=-12

Substituindo em:

(x+y)^2=12(x+y)+8xy

Temos:

(-12)^2=12(-12)+8xy 144=-144+8xy 8xy=288 xy=36

Assim:

\sqrt{xy}=\sqrt{36}=6

Portanto, o valor de \sqrt{xy} é:

6

Como 6 é múltiplo de 2, a alternativa correta seria:

\boxed{2}

Entretanto, precisamos verificar se os valores encontrados são compatíveis com as condições do enunciado.

Como encontramos:

x+y=-12

e

xy=36

os números x e y são raízes da equação:

t^2-(x+y)t+xy=0

Substituindo os valores:

t^2-(-12)t+36=0 t^2+12t+36=0

Fatorando:

(t+6)^2=0

Logo:

t=-6

Portanto:

x=y=-6

Mas isso contradiz o enunciado, que afirma que x e y são números reais distintos.

Assim, embora a manipulação algébrica leve a:

xy=36

e, consequentemente:

\sqrt{xy}=6

não existem valores reais distintos de x e y que satisfaçam simultaneamente o sistema dado.

Portanto, a questão apresenta inconsistência em seu enunciado e deve ser anulada.

QUESTÃO 18

Na figura abaixo, tem-se um quadrado de lado 2. Sabendo que E é o ponto médio do lado AD, o segmento de reta AG contém a diagonal do quadrado e CG=1, então a razão entre as áreas dos triângulos AEG e CFG, nessa ordem, é igual a:

a) 5+3\sqrt{2}

b) 6+2\sqrt{2}

c) 3+5\sqrt{2}

d) 2+6\sqrt{2}

GABARITO A

Como APGR é um quadrado de diagonal AG=2\sqrt{2}+1, temos:

GR=\frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}} GR=\frac{(2\sqrt{2}+1)\sqrt{2}}{2} GR=\frac{4+\sqrt{2}}{2}

Temos ainda:

CH=\frac{1}{\sqrt{2}}

Racionalizando:

CH=\frac{\sqrt{2}}{2}

Fazendo semelhança entre os triângulos CFG e EOG, temos:

\frac{x}{1}= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}+1} x= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{2+\sqrt{2}} x= \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}

Racionalizando:

x= \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\cdot \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} x= \frac{2\sqrt{2}-2}{4-2} x=\sqrt{2}-1

Assim, a área do triângulo AEG é:

S_{AEG}=\frac{\overline{EA}\cdot \overline{GP}}{2} S_{AEG}= \frac{1\cdot \frac{4+\sqrt{2}}{2}}{2} S_{AEG}=\frac{4+\sqrt{2}}{4}

A área do triângulo CFG é:

S_{CFG}=\frac{\overline{CF}\cdot \overline{GH}}{2} S_{CFG}= \frac{(\sqrt{2}-1)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} S_{CFG}= \frac{2-\sqrt{2}}{4}

Portanto:

\frac{S_{AEG}}{S_{CFG}} = \frac{\frac{4+\sqrt{2}}{4}}{\frac{2-\sqrt{2}}{4}} \frac{S_{AEG}}{S_{CFG}} = \frac{4+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}

Racionalizando:

\frac{S_{AEG}}{S_{CFG}} = \frac{4+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \frac{S_{AEG}}{S_{CFG}} = \frac{8+4\sqrt{2}+2\sqrt{2}+2}{4-2} \frac{S_{AEG}}{S_{CFG}} = \frac{10+6\sqrt{2}}{2} \frac{S_{AEG}}{S_{CFG}} = 5+3\sqrt{2}

Logo, a razão entre as áreas dos triângulos AEG e CFG, nessa ordem, é:

\boxed{5+3\sqrt{2}}

QUESTÃO 19

O aluno Cardano Cartesiano afirmou que um trilhão é o mesmo que um milhão de bilhões. Porém, seu professor o corrigiu dizendo que o valor correto de um trilhão seria mil bilhões.

A diferença entre o valor do trilhão falado por Cardano e o valor correto dito pelo professor é igual a:

a) 9{,}9\cdot 10^{15}

b) 9{,}99\cdot 10^{14}

c) 9{,}9\cdot 10^{13}

d) 9{,}99\cdot 10^{12}

GABARITO B

Um bilhão corresponde a:

10^9

Cardano afirmou que um trilhão seria um milhão de bilhões, isto é:

10^6\cdot 10^9=10^{15}

Já o professor corrigiu dizendo que um trilhão corresponde a mil bilhões:

10^3\cdot 10^9=10^{12}

A diferença entre os dois valores é:

10^{15}-10^{12}

Colocando 10^{12} em evidência:

10^{12}(10^3-1) 10^{12}(1000-1) 999\cdot 10^{12}

Escrevendo em notação científica:

999\cdot 10^{12}=9{,}99\cdot 10^{14}

Logo, a alternativa correta é:

\boxed{9{,}99\cdot 10^{14}}

QUESTÃO 20

Dados os conjuntos A e B, analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.

I – (A\cap B)\subset A, para todo A.

II – (A-B)\subset A, para todo A.

III – C_A^B\cup B=A.

IV – (A-B)\cup(B-A)=(A\cup B)-(A\cap B).

a) Somente uma afirmativa está correta.

b) Somente duas afirmativas estão corretas.

c) Somente três afirmativas estão corretas.

d) Todas as afirmativas estão corretas.

GABARITO C

Vamos analisar cada afirmativa.

I – (A\cap B)\subset A, para todo A.

Essa afirmativa é verdadeira, pois a interseção A\cap B é formada apenas pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B.

Logo, todo elemento de A\cap B pertence obrigatoriamente a A.

A\cap B\subset A

Portanto, a afirmativa I é verdadeira.

II – (A-B)\subset A, para todo A.

Essa afirmativa também é verdadeira, pois A-B representa o conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

Assim, todo elemento de A-B pertence necessariamente a A.

A-B\subset A

Portanto, a afirmativa II é verdadeira.

III – C_A^B\cup B=A.

Essa afirmativa é falsa.

A notação C_A^B indica uma operação de complementaridade entre conjuntos. Entretanto, para que essa operação esteja bem definida, é necessário haver uma relação adequada de inclusão entre os conjuntos envolvidos.

Ou seja, não podemos afirmar, para quaisquer conjuntos A e B, que a operação complementar indicada exista ou que satisfaça:

C_A^B\cup B=A

Como o enunciado apenas diz “dados os conjuntos A e B”, sem garantir nenhuma relação de inclusão entre eles, a afirmativa III não é necessariamente verdadeira.

Portanto, a afirmativa III é falsa.

IV – (A-B)\cup(B-A)=(A\cup B)-(A\cap B).

Essa afirmativa é verdadeira, pois ambos os lados representam a diferença simétrica entre os conjuntos A e B.

O conjunto A-B contém os elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.

O conjunto B-A contém os elementos que pertencem a B, mas não pertencem a A.

Logo:

(A-B)\cup(B-A)

representa os elementos que pertencem a apenas um dos conjuntos.

Por outro lado:

(A\cup B)-(A\cap B)

também representa os elementos que pertencem à união de A e B, mas não pertencem à interseção.

Portanto:

(A-B)\cup(B-A)=(A\cup B)-(A\cap B)

Assim, a afirmativa IV é verdadeira.

Concluímos que as afirmativas I, II e IV são verdadeiras, enquanto a afirmativa III é falsa.

Logo, somente três afirmativas estão corretas.

\boxed{\text{c) Somente três afirmativas estão corretas.}}

QUESTÃO 21

A função f(x)=ax+2b é estritamente crescente.

Sabe-se que f(a)=3b e f(b)=3a^2. Então, o valor de f(5) é igual a:

a) 2

b) 7

c) 12

d) 17

GABARITO B

Como:

f(x)=ax+2b

e a função é estritamente crescente, temos:

a>0

Usando a informação f(a)=3b, temos:

f(a)=a\cdot a+2b a^2+2b=3b a^2=b

Agora, usando a informação f(b)=3a^2, temos:

f(b)=ab+2b ab+2b=3a^2

Colocando b em evidência:

b(a+2)=3a^2

Como b=a^2, substituímos:

a^2(a+2)=3a^2

Como a>0, podemos dividir ambos os lados por a^2:

a+2=3 a=1

f(5)=5+2 f(5)=7

Logo, a alternativa correta é:

\boxed{7}

QUESTÃO 22

Dentro da EPCAR existem diversos clubes que envolvem os alunos dos três esquadrões:

– Clube de Voo Virtual
– Clube de Robótica
– Clube de Leitura
– Clube Olímpico, entre outros.

O Clube Olímpico responsabiliza-se pela organização dos alunos nas mais variadas olimpíadas de conhecimento, sempre com grande destaque positivo nos cenários regional, estadual, nacional e até internacional.

As alunas Vamp e Pires, agora no terceiro ano, estavam estudando para a OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) quando Vamp pediu à Pires que escrevesse no quadro todos os números do tipo XY, números naturais de dois algarismos, onde X representa quantas dezenas possui esse número e Y representa quantas unidades possui esse número.

Pires, então, respondeu imediatamente que seriam todos os números de 10 a 99.

Vamp, então, falou que assim seria muito fácil. Ela indagou a Pires que o número XY tinha que satisfazer a igualdade:

(X+1)(Y+1)=XY+1

Sabendo que Pires resolveu de forma correta o desafio, escrevendo todos os possíveis números no quadro, então a soma de todos os números escritos por ela no quadro é igual a:

a) 421

b) 431

c) 521

d) 531

GABARITO D

Como XY representa um número de dois algarismos, devemos escrever:

XY=10X+Y

A condição dada no enunciado é:

(X+1)(Y+1)=XY+1

Substituindo XY por 10X+Y, temos:

(X+1)(Y+1)=10X+Y+1

Agora, desenvolvendo o lado esquerdo:

XY+X+Y+1=10X+Y+1

Cancelando Y e 1 nos dois lados:

XY+X=10X

Colocando X em evidência:

X(Y+1)=10X

Como X é o algarismo das dezenas de um número de dois algarismos, temos:

X\neq 0

Assim, podemos dividir a igualdade por X:

Y+1=10

Logo:

Y=9

Portanto, todos os números possíveis são aqueles de dois algarismos terminados em 9:

19,\ 29,\ 39,\ 49,\ 59,\ 69,\ 79,\ 89,\ 99

A soma desses números é:

19+29+39+49+59+69+79+89+99

Como se trata de uma progressão aritmética de 9 termos, primeiro termo 19 e último termo 99, temos:

S=\frac{(19+99)\cdot 9}{2} S=\frac{118\cdot 9}{2} S=59\cdot 9 S=531

Logo, a alternativa correta é:

\boxed{531}

QUESTÃO 23

Em uma atividade de campanha, os alunos do terceiro ano, Esquadrão Xavante da EPCAR, receberam a seguinte mensagem:

“No quadro abaixo, há números de três algarismos cujas informações dispostas ao lado levam à decifração de um código secreto.”

843	Só um algarismo correto na posição certa
123	Nenhum algarismo correto
612	Só um algarismo correto na posição errada
456	Só um algarismo correto na posição certa
547	Só um algarismo correto na posição errada

Esse código constitui um número de três algarismos distintos e diferentes de zero.

Ao decifrar o código corretamente, o Esquadrão Xavante encontrou o número referente ao quantitativo de minutos que a viatura levará para buscá-los no acampamento a partir do recebimento da mensagem.

Sabendo que o esquadrão recebeu a mensagem às 6 horas da manhã e considerando que decifraram corretamente a mensagem, a viatura os resgatou no acampamento às:

a) 20 horas e 36 minutos.

b) 20 horas e 27 minutos.

c) 17 horas e 27 minutos.

d) 17 horas e 18 minutos.

GABARITO A

Pela informação referente ao número 123, nenhum algarismo está correto.

Logo, os algarismos 1, 2 e 3 não aparecem no código.

1,\ 2,\ 3 \notin \text{código}

Agora, analisando o número 612, sabemos que só um algarismo está correto, mas na posição errada.

Como 1 e 2 não pertencem ao código, o algarismo correto só pode ser o 6.

Assim, o algarismo 6 pertence ao código, mas não ocupa a posição das centenas.

6\in \text{código} 6 \neq \text{centena}

Analisando agora o número 843, sabemos que só um algarismo está correto na posição certa.

Como o algarismo 3 não pertence ao código, resta considerar os algarismos 8 e 4.

Assim, uma possibilidade é que o algarismo 8 esteja correto na posição das centenas.

8\_\_

Nesse caso, o algarismo 4 não pertence ao código.

Agora, usando a informação do número 456, temos que só um algarismo está correto na posição certa.

Como o algarismo 4 não pertence ao código e o algarismo 6 pertence ao código, o 6 deve estar correto na posição das unidades.

8\_6

Por fim, analisando o número 547, temos que só um algarismo está correto na posição errada.

Como o algarismo 4 não pertence ao código e o algarismo 5 também não pode aparecer na posição das dezenas, resta o algarismo 7.

Como ele aparece na posição das unidades em 547, mas deve estar na posição errada, o 7 deve ocupar a posição das dezenas.

Portanto, o código é:

876

Esse número representa a quantidade de minutos até o resgate.

Vamos converter 876 minutos em horas e minutos:

876=14\cdot 60+36

Logo:

876\text{ minutos}=14\text{ horas e }36\text{ minutos}

Como a mensagem foi recebida às 6 horas da manhã, somamos:

6\text{ h}+14\text{ h }36\text{ min}=20\text{ h }36\text{ min}

Portanto, a viatura resgatou o esquadrão às:

\boxed{20\text{ horas e }36\text{ minutos}}

Logo, a alternativa correta é:

\boxed{\text{a)}}

QUESTÃO 24

Seja x\in\mathbb{R}^*, julgue os itens abaixo em verdadeiro ou falso e marque a alternativa correta.

I) \sqrt{x}\in\mathbb{R}

II) x^2 é sempre maior que x

III) O oposto do x é sempre negativo

IV) x+2 pode ser menor que x

a) Apenas um item é falso.

b) Apenas dois itens são falsos.

c) Apenas três itens são falsos.

d) Todos os itens são falsos.

GABARITO D

Vamos analisar cada item.

I) \sqrt{x}\in\mathbb{R}

Essa afirmativa é falsa, pois x\in\mathbb{R}^* significa apenas que x é real e diferente de zero.

Isso não garante que x seja positivo.

Por exemplo, tomando:

x=-1

temos:

\sqrt{-1}\notin\mathbb{R}

Logo, o item I é falso.

II) x^2 é sempre maior que x.

Essa afirmativa também é falsa.

Basta tomar:

x=\frac{1}{2}

Então:

x^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2 x^2=\frac{1}{4}

Como:

\frac{1}{4}<\frac{1}{2}

temos:

x^2<x

Logo, o item II é falso.

III) O oposto de x é sempre negativo.

O oposto de x é -x.

Essa afirmativa é falsa, pois, se x for negativo, seu oposto será positivo.

Por exemplo, tomando:

x=-3

temos:

-x=-(-3) -x=3

Logo, o oposto de x não é sempre negativo.

Portanto, o item III é falso.

IV) x+2 pode ser menor que x.

Essa afirmativa é falsa.

Para que isso fosse possível, deveríamos ter:

x+2<x

Subtraindo x dos dois lados:

2<0

Mas essa desigualdade é impossível.

Logo, x+2 nunca pode ser menor que x.

Portanto, o item IV é falso.

Assim, todos os itens são falsos.

Logo, a alternativa correta é:

\boxed{\text{d) Todos os itens são falsos.}}

QUESTÃO 25

Os alunos Weiglas, Nascimento e Teixeira participam de escalas de serviço distintas e começaram a trabalhar no mesmo dia.

Weiglas trabalha três dias seguidos e depois folga um dia. Nascimento trabalha seis dias seguidos e folga outros dois. Teixeira trabalha sete dias, também consecutivos, e folga três dias.

Durante um ano, 365 dias, o número de dias de folga em comum dos três alunos é um número:

a) primo.

b) quadrado perfeito.

c) divisível por 7.

d) com seis divisores naturais.

GABARITO D

Os três alunos começaram a trabalhar no mesmo dia. Vamos numerar os dias do ano de 1 até 365.

Weiglas trabalha 3 dias seguidos e folga 1. Portanto, seu ciclo tem:

3+1=4

Assim, Weiglas folga nos dias múltiplos de 4:

4,\ 8,\ 12,\ 16,\ldots

Nascimento trabalha 6 dias seguidos e folga 2. Logo, seu ciclo tem:

6+2=8

Assim, Nascimento folga no 7^\circ e no 8^\circ dia de cada ciclo:

7,\ 8,\ 15,\ 16,\ 23,\ 24,\ldots

Teixeira trabalha 7 dias seguidos e folga 3. Logo, seu ciclo tem:

7+3=10

Assim, Teixeira folga no 8^\circ, no 9^\circ e no 10^\circ dia de cada ciclo:

8,\ 9,\ 10,\ 18,\ 19,\ 20,\ldots

Para que os três estejam de folga no mesmo dia, o dia precisa ser dia de folga de Weiglas, Nascimento e Teixeira ao mesmo tempo.

Como Weiglas folga nos múltiplos de 4, analisamos apenas esses dias.

Nascimento folga nos dias que deixam resto 7 ou 0 na divisão por 8.

Mas, entre os múltiplos de 4, só podem aparecer restos 0 ou 4 na divisão por 8.

Logo, para coincidir com a folga de Nascimento, o dia deve ser múltiplo de 8.

Agora, precisamos verificar quais múltiplos de 8 também são dias de folga de Teixeira.

Teixeira folga nos dias que deixam resto 8, 9 ou 0 na divisão por 10.

Os múltiplos de 8, observados módulo 10, seguem o padrão:

8,\ 6,\ 4,\ 2,\ 0

Portanto, os dias comuns de folga ocorrem quando o múltiplo de 8 termina em 8 ou em 0.

Isso acontece nos dias:

8,\ 40,\ 48,\ 80,\ 88,\ 120,\ldots

De forma organizada, temos duas sequências:

8,\ 48,\ 88,\ 128,\ldots

e

40,\ 80,\ 120,\ 160,\ldots

Ambas têm razão 40.

Na primeira sequência:

8+40k\leq 365 40k\leq 357 k\leq 8{,}925

Logo:

k=0,\ 1,\ 2,\ldots,\ 8

São 9 dias.

Na segunda sequência:

40k\leq 365

com k\geq 1.

Assim:

k=1,\ 2,\ldots,\ 9

São também 9 dias.

Portanto, o número de dias de folga em comum dos três alunos durante o ano é:

9+9=18

Agora, analisando o número 18:

18=2\cdot 3^2

Seus divisores naturais são:

1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18

Logo, 18 possui 6 divisores naturais.

Portanto, a alternativa correta é:

\boxed{\text{d) com seis divisores naturais.}}

QUESTÃO 26

A aluna Pires, ao chegar em casa, deparou-se com seu pai lendo um jornal no formato impresso. Ao folheá-lo, ela encontrou uma matéria sobre a EPCAR e, ao lado, um desafio matemático.

A	B	C	D
40	10	X	Y
24	X	4	6
Z	16	12	W

No quadro acima, A é diretamente proporcional a B, e C^2 é inversamente proporcional a D. Então, o valor da expressão:

P=X+Y+Z+W

é igual a:

a) \dfrac{220}{3}

b) \dfrac{224}{3}

c) 76

d) 123

GABARITO A

Como A é diretamente proporcional a B, temos:

\frac{A}{B}=k

Usando a primeira linha da tabela:

\frac{40}{10}=4

Logo:

A=4B

Na segunda linha, temos A=24 e B=X. Assim:

24=4X X=6

Na terceira linha, temos B=16 e A=Z. Logo:

Z=4\cdot 16 Z=64

Agora, como C^2 é inversamente proporcional a D, temos:

C^2\cdot D=k

Usando a segunda linha da tabela:

4^2\cdot 6=k 16\cdot 6=k k=96

Na primeira linha, temos C=X e D=Y. Como já encontramos X=6, então:

6^2\cdot Y=96 36Y=96 Y=\frac{96}{36} Y=\frac{8}{3}

Na terceira linha, temos C=12 e D=W. Assim:

12^2\cdot W=96 144W=96 W=\frac{96}{144} W=\frac{2}{3}

Portanto:

P=X+Y+Z+W

Substituindo os valores encontrados:

P=6+\frac{8}{3}+64+\frac{2}{3} P=70+\frac{10}{3} P=\frac{210}{3}+\frac{10}{3} P=\frac{220}{3}

Logo, a alternativa correta é:

\boxed{\frac{220}{3}}

QUESTÃO 27

Em uma certa aula de matemática, a professora trabalhou com seus alunos os conceitos e ideias do MDC, Máximo Divisor Comum.

Ao chegar em casa, Joãozinho resolveu aplicar o que havia sido discutido em sala. Ele chamou de M, P e K as idades de seu pai e dos seus dois irmãos. Em seguida, fez algumas operações dessas idades, fatoradas em números primos, e obteve os máximos divisores comuns dos 3 pares dessas idades:

MDC(P,M)=15 MDC(P,K)=5 MDC(M,K)=20

Sabendo que o produto P\cdot M\cdot K=18000 e que Joãozinho tem 13 anos, então a soma das idades do pai, dos 2 irmãos com a idade de Joãozinho é igual a:

a) 95

b) 103

c) 108

d) 115

GABARITO C

Primeiro, vamos fatorar o produto dado:

P\cdot M\cdot K=18000 18000=18\cdot 1000 18000=2\cdot 3^2\cdot 2^3\cdot 5^3 18000=2^4\cdot 3^2\cdot 5^3

Agora, vamos analisar os MDCs dados:

MDC(P,M)=15=3\cdot 5 MDC(P,K)=5 MDC(M,K)=20=2^2\cdot 5

Observe que o fator 2 aparece apenas no MDC entre M e K.

Como:

MDC(M,K)=20=2^2\cdot 5

os números M e K devem ter, pelo menos, 2^2.

Como o produto total possui:

2^4

temos:

M=2^2\cdot \ldots K=2^2\cdot \ldots

e P não possui fator 2.

Agora, analisando o fator 3, temos:

MDC(P,M)=15=3\cdot 5

Então P e M possuem o fator 3.

Como:

MDC(P,K)=5

e

MDC(M,K)=20

o número K não possui fator 3.

Como o produto total possui:

3^2

concluímos que:

P=3\cdot \ldots M=3\cdot \ldots

Agora, analisando o fator 5, ele aparece nos três MDCs:

MDC(P,M)=15 MDC(P,K)=5 MDC(M,K)=20

Logo, os três números possuem o fator 5.

Como o produto total possui:

5^3

cada um deles possui exatamente um fator 5.

Assim, temos:

P=3\cdot 5 P=15 M=2^2\cdot 3\cdot 5 M=60 K=2^2\cdot 5 K=20

Portanto, as idades do pai e dos dois irmãos são:

15,\ 20,\ 60

A soma dessas três idades é:

15+20+60=95

Como Joãozinho tem 13 anos, a soma pedida é:

95+13=108

Logo, a alternativa correta é:

\boxed{108}

QUESTÃO 28

Um jogador de futebol chuta a bola que se encontrava parada no gramado, solo, em direção ao gol adversário a uma distância de 34 m. A bola descreve uma trajetória parabólica que, se completasse a curva, tocaria novamente no solo, gramado, a uma distância de 40 m de sua posição inicial de chute.

Sabendo que a altura máxima atingida pela bola foi de 5 m e que a altura do gol é de 2{,}44 m, em sua parte interna, e que a espessura do travessão é de 12 cm, então a bola:

a) entrou diretamente no gol adversário.

b) bateu, colidiu, no travessão.

c) passou por cima do travessão.

d) atingiu sua altura máxima a 15 m do local do chute.

GABARITO B

Como a bola saiu do solo e, se completasse a trajetória, voltaria ao solo a 40 m do ponto inicial, as raízes da parábola são:

x=0

e

x=40

Logo, podemos escrever a função altura na forma:

h(x)=a\cdot x(40-x)

O eixo de simetria da parábola fica no ponto médio entre as raízes:

x_v=\frac{0+40}{2}=20

Portanto, a altura máxima ocorre a 20 m do chute.

Como a altura máxima é 5 m, temos:

h(20)=5

Substituindo:

5=a\cdot 20(40-20) 5=400a a=\frac{1}{80}

Assim, a função que representa a altura da bola é:

h(x)=\frac{x(40-x)}{80}

Como o gol está a 34 m do ponto inicial, calculamos:

h(34)=\frac{34(40-34)}{80} h(34)=\frac{34\cdot 6}{80} h(34)=\frac{204}{80} h(34)=2{,}55

Portanto, ao chegar à linha do gol, a bola está a 2,55 m de altura.

A altura interna do gol é:

2{,}44\text{ m}

A espessura do travessão é de 12 cm, ou seja:

12\text{ cm}=0{,}12\text{ m}

Assim, o travessão ocupa a faixa de altura entre:

2{,}44\text{ m}

e

2{,}44+0{,}12=2{,}56\text{ m}

Como:

2{,}44<2{,}55<2{,}56

a bola atinge a região ocupada pelo travessão.

Logo, a bola bateu no travessão.

\boxed{\text{b) bateu, colidiu, no travessão.}}

QUESTÃO 29

Em fevereiro de 2026, chuvas intensas assolaram cidades na Zona da Mata Mineira. Uma das cidades mais atingidas foi Juiz de Fora. Vários bairros da cidade foram “devastados” com deslizamento de terras e buracos nas vias de acesso.

Moradores ficaram soterrados e/ou ilhados em suas residências.

Com a missão de salvar e resgatar essas pessoas, a Força Aérea Brasileira enviou para Juiz de Fora um helicóptero Black Hawk.

O piloto foi acionado e instruído a realizar missão de busca e salvamento de moradores nos bairros A e B, conforme o croqui abaixo.

Partindo da base, ponto P, e com decolagem de 30^\circ em relação à direção Norte, o helicóptero resgata os primeiros moradores no bairro A, que fica em uma trajetória retilínea a 10 km da base P. Do bairro A, a partir da direção Leste, percorre mais 10 km em linha reta e resgata moradores no bairro B. Em seguida, também em linha reta, retorna à base, ponto P, conforme o croqui acima.

Com base nas informações e no croqui, a distância, em metros, percorrida pela aeronave nessa missão foi de:

Dados: \sqrt{2}=1{,}4; \sqrt{3}=1{,}7.

a) 27000

b) 30000

c) 34000

d) 37000

GABARITO D

A trajetória total é formada pelos trechos:

PA+AB+BP

Pelo enunciado:

PA=10\text{ km}

e

AB=10\text{ km}

Agora, precisamos calcular o trecho BP.

Como o helicóptero parte de P fazendo um ângulo de 30^\circ com a direção Norte, podemos decompor o deslocamento PA.

A componente vertical, na direção Norte, é:

10\cos 30^\circ

Como:

\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}

temos:

10\cos 30^\circ=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} 10\cos 30^\circ=5\sqrt{3}

A componente horizontal, na direção Leste, é:

10\sin 30^\circ

Como:

\sin 30^\circ=\frac{1}{2}

temos:

10\sin 30^\circ=10\cdot \frac{1}{2} 10\sin 30^\circ=5

Portanto, ao chegar ao ponto A, o helicóptero deslocou-se 5 km para Leste e 5\sqrt{3} km para Norte.

Do ponto A até o ponto B, ele percorre mais 10 km para Leste.

Assim, em relação ao ponto de partida P, o ponto B está a:

5+10=15

km para Leste e a:

5\sqrt{3}

km para Norte.

Logo, o trecho BP é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 15 e 5\sqrt{3}.

Pelo Teorema de Pitágoras:

BP^2=15^2+(5\sqrt{3})^2 BP^2=225+25\cdot 3 BP^2=225+75 BP^2=300 BP=\sqrt{300} BP=10\sqrt{3}

Usando o valor dado no enunciado:

\sqrt{3}=1{,}7

temos:

BP=10\cdot 1{,}7 BP=17\text{ km}

Portanto, a distância total percorrida foi:

PA+AB+BP=10+10+17 PA+AB+BP=37\text{ km}

Convertendo para metros:

37\text{ km}=37000\text{ m}

Logo, a alternativa correta é:

\boxed{37000}

QUESTÃO 30

Na Turma Alfa do Primeiro Esquadrão do CPCAR 2026, o mestre de matemática apresentou a função:

f(x)=x^2-2x+4

e seu respectivo gráfico.

Em seguida, pediu para que os alunos, com auxílio do GeoGebra, construíssem os gráficos das funções:

g(x)=x^2-2x+2 h(x)=x^2-2x+8 i(x)=x^2-2x+16

Sobre os gráficos de g(x), h(x) e i(x), em relação ao gráfico de f(x), analise as sentenças abaixo, classificando-as em verdadeira ou falsa, e assinale a alternativa correta.

I) Interceptarão o eixo das abscissas no mesmo ponto.

II) Terão o mesmo conjunto imagem.

III) Terão o mesmo valor para a abscissa do vértice.

a) Todas as sentenças são verdadeiras.

b) Todas as sentenças são falsas.

c) Apenas uma sentença é verdadeira.

d) Apenas duas sentenças são verdadeiras.

GABARITO C

Vamos analisar as funções:

f(x)=x^2-2x+4 g(x)=x^2-2x+2 h(x)=x^2-2x+8 i(x)=x^2-2x+16

Todas possuem os mesmos coeficientes a e b:

a=1 b=-2

Mudando apenas o termo independente.

I) Interceptarão o eixo das abscissas no mesmo ponto.

Para verificar se uma função quadrática intercepta o eixo das abscissas, analisamos o discriminante:

\Delta=b^2-4ac

Para a função g(x)=x^2-2x+2, temos:

\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2 \Delta=4-8 \Delta=-4

Como:

\Delta<0

a função g não intercepta o eixo das abscissas.

Para h(x)=x^2-2x+8:

\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 8 \Delta=4-32 \Delta=-28

Logo, h também não intercepta o eixo das abscissas.

Para i(x)=x^2-2x+16:

\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 16 \Delta=4-64 \Delta=-60

Logo, i também não intercepta o eixo das abscissas.

Portanto, a sentença I é falsa.

II) Terão o mesmo conjunto imagem.

Como todas as parábolas têm a>0, todas possuem concavidade voltada para cima.

Assim, o conjunto imagem de cada uma começa no valor mínimo, isto é, na ordenada do vértice.

Vamos calcular a abscissa do vértice:

x_v=\frac{-b}{2a} x_v=\frac{-(-2)}{2\cdot 1} x_v=1

Agora, calculamos o valor mínimo de cada função.

Para f:

f(1)=1^2-2\cdot 1+4 f(1)=3

Então:

Im(f)=[3,+\infty[

Para g:

g(1)=1^2-2\cdot 1+2 g(1)=1

Então:

Im(g)=[1,+\infty[

Para h:

h(1)=1^2-2\cdot 1+8 h(1)=7

Então:

Im(h)=[7,+\infty[

Para i:

i(1)=1^2-2\cdot 1+16 i(1)=15

Então:

Im(i)=[15,+\infty[

Como os conjuntos imagem são diferentes, a sentença II é falsa.

III) Terão o mesmo valor para a abscissa do vértice.

A abscissa do vértice de uma função quadrática é dada por:

x_v=\frac{-b}{2a}

Como todas as funções possuem:

a=1

e

b=-2

temos, para todas elas:

x_v=\frac{-(-2)}{2\cdot 1} x_v=1

Logo, todas têm a mesma abscissa do vértice.

Portanto, a sentença III é verdadeira.

Concluímos que apenas a sentença III é verdadeira.

Logo, a alternativa correta é:

\boxed{\text{c) Apenas uma sentença é verdadeira.}}

QUESTÃO 31

Em busca de uma melhor preparação para as olimpíadas de matemática, um aluno resolveu comprar uma coletânea de livros olímpicos. Na livraria Euleriana, a coletânea pode ser adquirida e o pagamento efetuado de três formas distintas, conforme opções listadas abaixo:

* opção 1: valor à vista.

* opção 2: pagando 180 reais após um mês da compra e 200 reais dois meses após a compra, sendo que os juros mensais são de 25\% sobre o saldo devedor.

* opção 3: valor parcelado em 5 vezes sem entrada, a uma taxa de 10\% ao mês, sob o regime de capitalização simples.

Sabendo que o aluno comprou a coletânea por apenas uma das opções listadas, analise as afirmações a seguir.

I) O valor pago na opção 1 é um número múltiplo de 17.

II) O valor pago na opção 2 é igual a 1{,}5 do valor pago na opção 1.

III) O valor pago na opção 3 possui 16 divisores naturais.

É correto afirmar que:

a) nenhuma afirmativa é verdadeira.

b) apenas uma afirmativa é verdadeira.

c) apenas duas afirmativas são verdadeiras.

d) todas as afirmativas são verdadeiras.

GABARITO C

Vamos chamar de V o valor à vista da coletânea.

Na opção 2, após um mês, o valor devido passa a ser:

1{,}25V

Como o aluno paga 180 reais após esse primeiro mês, o saldo devedor fica:

1{,}25V-180

Após mais um mês, incidem novamente juros de 25\% sobre esse saldo. Assim, antes do segundo pagamento, a dívida será:

1{,}25(1{,}25V-180)

Como o segundo pagamento é de 200 reais e quita a dívida, temos:

1{,}25(1{,}25V-180)=200

Desenvolvendo:

1{,}5625V-225=200 1{,}5625V=425

Como:

1{,}5625=\frac{25}{16}

temos:

\frac{25}{16}V=425 V=425\cdot \frac{16}{25} V=17\cdot 16 V=272

Portanto, o valor à vista é:

272

Analisando a afirmativa I, temos:

272=17\cdot 16

Logo, 272 é múltiplo de 17.

Portanto, a afirmativa I é verdadeira.

Na opção 2, o valor efetivamente pago foi:

180+200=380

Agora, calculando 1{,}5 do valor pago na opção 1:

1{,}5\cdot 272=408

Como:

380\neq 408

a afirmativa II é falsa.

Na opção 3, o pagamento é feito sob capitalização simples, com taxa de 10\% ao mês, durante 5 meses.

Assim, o montante pago será:

M=V(1+in)

Substituindo os valores:

M=272(1+0{,}10\cdot 5) M=272(1+0{,}5) M=272\cdot 1{,}5 M=408

Agora, vamos fatorar 408:

408=8\cdot 51 408=2^3\cdot 3\cdot 17

O número de divisores naturais de 408 é:

(3+1)(1+1)(1+1) 4\cdot 2\cdot 2=16

Logo, a afirmativa III é verdadeira.

Concluímos que as afirmativas I e III são verdadeiras, enquanto a afirmativa II é falsa.

Portanto, apenas duas afirmativas são verdadeiras.

\boxed{\text{c) apenas duas afirmativas são verdadeiras.}}

QUESTÃO 32

No primeiro Teste de Aptidão do Condicionamento Físico (TACF) do efetivo da EPCAR, no ano de 2026, foi analisado durante a corrida o desempenho de dois militares que compõem o efetivo da Divisão de Admissão e Seleção (DAS).

Sabe-se que esses dois militares mantiveram seus respectivos trajetos em velocidades constantes e ambos correram exatamente 12 minutos.

Sabe-se, ainda, que o Militar 1 manteve sua velocidade a 3{,}4 metros por segundo e o Militar 2 correu a uma velocidade de 5 metros por segundo.

Além disso, no posicionamento inicial da corrida, os dois militares ficaram distribuídos na pista de atletismo da seguinte maneira:

A pista tem exatamente 400 metros, uma volta completa na raia em que ambos executaram o teste. A corrida é realizada no sentido anti-horário e o Militar 2 percorreu, 200 metros atrás.

Com base nessa situação, analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.

I) A diferença entre as distâncias finais é maior que 2{,}5 voltas e menor que 2{,}8 voltas.

II) O momento em que os dois militares ficaram lado a lado na corrida, pela primeira vez, foi aos exatos 125 segundos.

III) O tempo t gasto, em segundos, no momento exato em que o Militar 2 consegue dar duas voltas completas no Militar 1 é um valor tal que \dfrac{t}{5} é um número quadrado perfeito.

a) Nenhuma afirmativa está certa.

b) Apenas uma afirmativa está correta.

c) Apenas duas afirmativas estão corretas.

d) Todas as afirmativas estão corretas.

GABARITO B

Primeiro, vamos transformar o tempo total de corrida para segundos.

12\text{ min}=12\cdot 60=720\text{ s}

O Militar 1 corre a 3{,}4\text{ m/s}. Logo, em 720 segundos, ele percorre:

d_1=3{,}4\cdot 720 d_1=2448\text{ m}

O Militar 2 corre a 5\text{ m/s}. Assim:

d_2=5\cdot 720 d_2=3600\text{ m}

A diferença entre as distâncias percorridas é:

d_2-d_1=3600-2448 d_2-d_1=1152\text{ m}

Como cada volta possui 400 metros, essa diferença, em voltas, é:

\frac{1152}{400}=2{,}88

Logo, a diferença entre as distâncias finais é maior que 2{,}5 voltas, mas não é menor que 2{,}8 voltas.

Portanto, a afirmativa I é falsa.

Agora, vamos analisar o primeiro momento em que os dois militares ficaram lado a lado.

Inicialmente, o Militar 2 estava 200 metros atrás do Militar 1.

A velocidade relativa entre eles é:

v_r=5-3{,}4 v_r=1{,}6\text{ m/s}

Para alcançar o Militar 1 pela primeira vez, o Militar 2 precisa tirar a diferença inicial de 200 metros.

Assim:

t=\frac{200}{1{,}6} t=125\text{ s}

Portanto, a afirmativa II é verdadeira.

Agora, vamos analisar o momento em que o Militar 2 consegue dar duas voltas completas no Militar 1.

Como ele começou 200 metros atrás, primeiro precisa tirar essa desvantagem.

Depois disso, para abrir duas voltas completas de vantagem, precisa ganhar mais:

2\cdot 400=800\text{ m}

Assim, a distância relativa total que o Militar 2 precisa ganhar é:

200+800=1000\text{ m}

Como a velocidade relativa é 1{,}6\text{ m/s}, temos:

t=\frac{1000}{1{,}6} t=625\text{ s}

Agora, calculando:

\frac{t}{5}=\frac{625}{5} \frac{t}{5}=125

Como 125 não é um número quadrado perfeito, a afirmativa III é falsa.

Portanto:

\text{I é falsa} \text{II é verdadeira} \text{III é falsa}

Assim, apenas uma afirmativa está correta.

Logo, a alternativa correta é:

\boxed{\text{b) Apenas uma afirmativa está correta.}}

Esta foi mais uma resolução comentada da prova oficial da EPCAR (CPCAR 2027). Analisar cada questão após a aplicação do exame é uma das formas mais eficientes de compreender o perfil da banca, identificar os assuntos mais cobrados e corrigir possíveis dificuldades antes das próximas etapas da preparação.

Neste gabarito comentado, cada resolução foi desenvolvida de forma detalhada, priorizando o raciocínio matemático e as estratégias utilizadas para chegar à alternativa correta. Mesmo quem já realizou a prova pode aproveitar esse estudo para consolidar conceitos e evitar erros semelhantes em concursos futuros.

Continue acompanhando o Questão do Cadete para conferir todas as resoluções da prova da EPCAR 2027, além de simulados inéditos, provas anteriores comentadas e centenas de questões resolvidas dos principais concursos militares. Nossa missão é oferecer um material completo para quem busca uma preparação consistente e de alto nível rumo à Escola Preparatória de Cadetes do Ar.