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QUESTÃO 1
Sobre uma circunferência de centro O, traça-se o hexágono regular de vértices A, B, C, D, E e F. Sobre o diâmetro \overline{AD}, traçam-se os pontos M, ponto médio de \overline{AO}, e N, ponto médio de \overline{OD}.
O total de triângulos que podem ser traçados com todos os pontos citados é igual a
a) 84
b) 74
c) 72
d) 70
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GABARITO D
Podemos fazer uma combinação de 3 em 3 com o total de pontos e, em seguida, descontar os conjuntos de três pontos alinhados, pois estes não formam triângulos.
Temos os 6 vértices do hexágono, além dos pontos O, M e N, totalizando 9 pontos.
C_{9,3}=\dfrac{9!}{3!\,6!} =\dfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6!}{3\cdot2\cdot1\cdot6!} =3\cdot4\cdot7=84Agora vamos identificar os conjuntos de três pontos alinhados.
Sobre a diagonal \overline{AD} (que também é um diâmetro da circunferência), estão os pontos A, M, O, N e D. Assim, quaisquer três desses cinco pontos não formam triângulos.
C_{5,3}=\dfrac{5!}{3!\,2!} =\dfrac{5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot2!} =10Além disso, as outras diagonais do hexágono regular que passam pelo centro são \overline{BE} e \overline{CF}. Em cada uma delas existem três pontos alinhados: B,O,E e C,O,F.
Cada uma dessas diagonais contribui com mais uma combinação de três pontos alinhados.
10+1+1=12Portanto, já identificamos 12 combinações que não formam triângulos.
Agora, analisando as demais retas determinadas pelos pontos do hexágono nas condições do problema, concluímos a contagem final.
Vemos que as diagonais \overline{BF} e \overline{CE} formam os triângulos isósceles destacados na figura.
Dessa forma, B, M e F são pontos alinhados, assim como C, N e E.
Logo, temos mais 2 combinações para descontar, totalizando
12+2=14Portanto, o total de triângulos será
84-14=70QUESTÃO 2
Sejam A=\lbrace 0,1,2,3\rbrace e f:A\to A uma função sobrejetora definida por f(0)=2, f(2)=3 e f(3)=0.
Calculando f\circ f\circ f\circ f(1), encontra-se
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
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GABARITO B
Sendo f uma função sobrejetora, só nos resta concluir que
f(1)=1
Assim, aplicando sucessivamente a função f, teremos sempre
f(1)=1Logo, qualquer composição de f aplicada em 1 continuará produzindo o mesmo resultado. Assim,
f\circ f\circ f\circ f\circ f(1)=1QUESTÃO 3
Seja \left(x,3,y,\dfrac{25}{3}\right), com x e y ambos números reais tais que y>x, uma sequência onde os três primeiros termos formam uma progressão aritmética de razão r>0 e os três últimos formam uma progressão geométrica de razão q>1.
O número real k que deve ser somado a cada um dos números r, \dfrac{3}{2} e q para que depois da soma se tenha \left(r+k,\dfrac{3}{2}+k,q+k\right), uma progressão geométrica é tal que k pertence ao intervalo
a) ]-1,0[
b) ]-2,-1[
c) ]-3,-2[
d) ]-4,-3[
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GABARITO B
Como (x,3,y) é uma P.A., temos
3-x=y-3 x+y=6Como \left(3,y,\dfrac{25}{3}\right) é uma P.G., temos
\dfrac{y}{3}=\dfrac{\frac{25}{3}}{y} y^2=25 y=\pm5Se y=5, então x=1. Esse caso serve.
Se y=-5, então x=11. Esse caso não serve.
Logo, x=1 e y=5
Na P.A., temos r=2
Na P.G., temos q=\dfrac53
Assim, \left(2+k,\;\frac32+k,\;\frac53+k\right)
Para que esses três termos formem uma P.G., o quadrado do termo central deve ser igual ao produto dos extremos. Portanto,
\left(\frac32+k\right)^2=(2+k)\left(\frac53+k\right)Desenvolvendo ambos os membros, obtemos
\frac94+3k+k^2=\frac{10}{3}+\frac{11k}{3}+k^2Eliminando k^2 dos dois lados,
3k-\frac{11k}{3}=\frac{10}{3}-\frac94ou, equivalentemente, -\frac{2k}{3}=\frac{13}{12}.
Logo, k=-\frac{13}{8}.
Em forma decimal, k=-1,625.
QUESTÃO 4
Considere as proposições abaixo e classifique cada uma em V (verdadeira) ou F (falsa).
( ) A função f:A\to\mathbb{R} tal que f(x)=x^2-2x+1 é injetora somente se A=[1,+\infty[.
( ) Considere f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que:
f(x)=1,\text{ se }x\in\mathbb{Q} f(x)=0,\text{ se }x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}O conjunto imagem da função f\circ f é \lbrace 1\rbrace.
( ) Se f:[0,+\infty[\to[-2,+\infty[ é tal que f(x)=x^2-2, então f^{-1}(2)=4.
A sequência correta é
a) V-F-V
b) F-F-V
c) F-V-F
d) V-F-F
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GABARITO C
(F)
f(x)=x^2-2x+1possui como x_v o seguinte valor
x_v=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=1Daí ela pode ser injetora se mantivermos apenas um dos ramos da parábola, logo pode ser injetora para
[1,+\infty[ \quad\text{ou}\quad ]-\infty,1].(V)
f(f(1))=f(1)=1(F)
Como o domínio é [0,+\infty[ temos
f^{-1}(2)=4 \iff f(4)=2.Mas f(4)=4^2-2=14\neq2.
Além disso,
f(x)=2 \iff x^2-2=2 \iff x^2=4.Como x\ge0, segue que x=2
Logo,
f^{-1}(2)=2\neq4.QUESTÃO 5
Considere a função real f definida por f(x)=\sqrt{2}\left|\cos x- sen x \right| e marque a alternativa correta com relação a essa função.
a) É decrescente em \left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right]
b) No intervalo [0,2\pi] possui duas raízes.
c) Tem período 2\pi
d) Seu conjunto imagem é \left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]
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GABARITO B
\sqrt2\,|\cos x-\operatorname{sen}x|=0Como \sqrt2>0, segue que
|\cos x-\operatorname{sen}x|=0Logo,
\cos x-\operatorname{sen}x \cos x=\operatorname{sen}xAssim,
x=\dfrac{\pi}{4} \quad\text{ou}\quad x=\dfrac{5\pi}{4}QUESTÃO 6
O conjunto solução do sistema
x^2-2ax+a^2-b^2>0 x^2-(a-2b)x-b(a-b)<0na variável x, em que a e b\in\mathbb{R} e 0<a<b, é
a) \lbrace x\in\mathbb{R}\mid -b<x<a-b\rbrace
b) \lbrace x\in\mathbb{R}\mid -b<x<2a+2b\rbrace
c) \lbrace x\in\mathbb{R}\mid a-b<x<a+b\rbrace
d) \lbrace x\in\mathbb{R}\mid x<-b\text{ ou }x>2a+2b\rbrace
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GABARITO A
x^2-2ax+a^2-b^2>0 \quad\text{e}\quad x^2-(a-2b)x-b(a-b)<0Raízes de f(x)=x^2-2ax+a^2-b^2:
x=\dfrac{-(-2a)\pm\sqrt{(-2a)^2-4\cdot1\cdot(a^2-b^2)}}{2\cdot1} x=\dfrac{2a\pm\sqrt{4a^2-4a^2+4b^2}}{2} x=\dfrac{2a\pm2b}{2}=a\pm bAssim,
x^2-2ax+a^2-b^2>0 x<a-b \quad\text{ou}\quad x>a+b \qquad (I)Raízes de g(x)=x^2-(a-2b)x-b(a-b):
x=\dfrac{-[-(a-2b)]\pm\sqrt{[-(a-2b)]^2-4\cdot1\cdot[-b(a-b)]}}{2\cdot1} x=\dfrac{a-2b\pm\sqrt{(a-2b)^2+4b(a-b)}}{2} x=\dfrac{a-2b\pm\sqrt{a^2-4ab+4b^2+4ab-4b^2}}{2} x=\dfrac{a-2b\pm\sqrt{a^2}}{2} x=\dfrac{a-2b\pm a}{2} x=a-b \quad\text{ou}\quad x=-bAssim,
x^2-(a-2b)x-b(a-b)<0 -b<x<a-b \qquad (II)Fazendo a interseção entre (I) e (II), obtemos
-b<x<a-bQUESTÃO 7
Um trapézio isósceles inscrito em um círculo de raio 2 tem as bases situadas em semiplanos opostos que são determinados por uma reta que contém um diâmetro paralelo a essas bases.
Se as medidas das bases são iguais aos lados do triângulo equilátero e do hexágono regular inscritos nesse círculo, então a altura do trapézio é
a) \sqrt{3}-1
b) \sqrt{3}
c) \sqrt{3}+1
d) \sqrt{3}+2
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GABARITO C
A base menor será igual ao lado do hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio R=2. Assim,
l_6=R=2Da mesma forma, a base maior será igual ao lado do triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência. Logo,
l_3=R\sqrt3=2\sqrt3Devemos observar que a base menor do trapézio, por ser igual ao lado do hexágono regular, determina um arco de 60^\circ, enquanto a base maior determina um arco de 120^\circ.
Sendo o trapézio isósceles, os lados oblíquos determinam arcos iguais. Como
360^\circ-60^\circ-120^\circ=180^\circcada lado oblíquo determina um arco de
\dfrac{180^\circ}{2}=90^\circAssim, cada lado oblíquo possui o mesmo comprimento do lado de um quadrado inscrito na circunferência, ou seja,
l_4=R\sqrt2=2\sqrt2
Vamos traçar a altura [/katex]h[/katex]
Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo determinado.
(2\sqrt2)^2=(\sqrt3-1)^2+h^2 4\cdot2=3+1-2\sqrt3+h^2 h^2=8-4+2\sqrt3 h^2=4+2\sqrt3 h^2=(\sqrt3+1)^2 h=\sqrt3+1QUESTÃO 8
Sendo m\in\mathbb{R}, tal que 0<m<1, e M o conjunto solução da inequação
\log_{\frac{1}{m}}\left[(x-7)\cdot\log_m\left(\frac{1}{m}\right)\right]\leq\log_{\frac{1}{m}}(x-1)
então M é o intervalo
a) ]1,4]
b) [1,4]
c) [4,7]
d) [4,7[
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GABARITO D
Como 0<m<1, temos:
\dfrac{1}{m}>1
Além disso,
\log_m\left(\dfrac{1}{m}\right)=\log_m(m^{-1})=-1
Logo, a inequação
\log_{\frac{1}{m}}\left[(x-7)\cdot\log_m\left(\frac{1}{m}\right)\right]\leq\log_{\frac{1}{m}}(x-1)
pode ser escrita como
\log_{\frac{1}{m}}\left[(x-7)\cdot(-1)\right]\leq\log_{\frac{1}{m}}(x-1)
ou seja,
\log_{\frac{1}{m}}(7-x)\leq\log_{\frac{1}{m}}(x-1)
Como \dfrac{1}{m}>1, a função logarítmica de base \dfrac{1}{m} é crescente. Assim, podemos comparar os argumentos:
7-x\leq x-1
-2x\leq -8
x\geq 4
Agora, analisando as condições de existência dos logaritmos, devemos ter:
x-1>0
x>1
e também
7-x>0
x<7
Portanto, reunindo as condições:
x\geq 4\quad \text{e}\quad x<7
Logo,
M=[4,7[
Portanto, a alternativa correta é
\boxed{\text{d) }[4,7[}
QUESTÃO 9
Dada a equação x^2+y^2=14x+6y+6, se p é o maior valor possível de x e q é o maior valor possível de y, sendo N a soma dos 6 primeiros termos da progressão aritmética crescente em que p e q são os 2 primeiros termos, a soma dos algarismos de N é
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
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GABARITO C
x^2+y^2-14x-6y+6=0 (x-7)^2-49+(y-3)^2-9+6=0 (x-7)^2+(y-3)^2=52 (x-7)^2+(y-3)^2=2\sqrt{13}Temos uma circunferência de centro em (7,3) e raio igual a 2\sqrt{13}.
Sendo assim,
p=15 \quad\text{e}\quad q=11
Como
q<ppara que a P.A. seja crescente, temos
a_1=q=11e
a_2=p=15Logo, a razão da progressão será
r=15-11=4O sexto termo é dado por
a_6=a_1+5r=11+5\cdot4=31Assim, a soma dos seis primeiros termos será
S_6=\dfrac{(a_1+a_6)\cdot6}{2} =\dfrac{(11+31)\cdot6}{2} =42\cdot3=126QUESTÃO 10
Considere as funções reais f e g dadas por g(x)=x+\left|-2x+1+\left|-x\right|\right| e f(x)=m, onde m\in\mathbb{R}, e, a seguir, marque a alternativa correta.
a) f(x)<g(x),\forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow m<1.
b) O conjunto imagem da função real h tal que h(x)=-g(x) é \operatorname{Im}(h)=]-\infty,0].
c) Se m>1, \exists x\in\mathbb{R} tal que f(x)=g(x).
d) A função real g é par.
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GABARITO A
g(x)=x+\left|-2x+1+\left|-x\right|\right|Sabemos que
|-x|= \begin{cases} -x, & \text{se } x<0 \ x, & \text{se } x\geq 0 \end{cases}I. Suponha que
x<0.Então,
g(x)=x+\left|-2x+1-x\right|Logo,
g(x)=x+\left|-3x+1\right|.II. Se x\geq0
g(x)=x+\left|-2x+1+x\right| g(x)=x+\left|-x+1\right|Agora, analisando os módulos internos, temos:
|-3x+1|= \begin{cases} -3x+1, & \text{se } x<\dfrac13 \ 3x-1, & \text{se } x\geq\dfrac13 \end{cases}Como esse caso veio de
x<0,utilizaremos apenas
|-3x+1|=-3x+1.Além disso,
|-x+1|= \begin{cases} -x+1, & \text{se } x<1 \ x-1, & \text{se } x\geq1 \end{cases}Vamos lá:
III. Se
x<0,temos
g(x)=x+(-3x+1)Portanto,
g(x)=-2x+1.IV. Se
0\leq x<1,temos
g(x)=x+(-x+1)Portanto,
g(x)=1.V. Se x\geq1
g(x)=x+(x-1)=2x-1Assim, temos
g(x)= \begin{cases} -2x+1, & \text{se } x<0 \ 1, & \text{se } 0\leq x<1 \ 2x-1, & \text{se } x\geq1 \end{cases}
Se g(x) for maior que 1.
Dessa forma, se f(x)=m com m<1, teremos sempre f(x)<g(x)
QUESTÃO 11
Considere A_{6\times 3} uma matriz cujos elementos são definidos por a_{ij}, em que:
a_{ij}=2i+j,\text{ se }i\geq j a_{ij}=i-j,\text{ se }i<je B=2^{-1}\left(A\cdot A^t\right), em que A^t é a matriz transposta de A.
O elemento b_{52} da matriz B é um número
a) negativo.
b) quadrado perfeito ímpar.
c) primo.
d) par.
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GABARITO C
O elemento b_{52} será o resultado da 5ª linha da matriz A multiplicada pela 2ª coluna da matriz A^t. Porém, a 2ª coluna da matriz A^t é exatamente a 2ª linha da matriz A.
Temos que a 2ª linha da matriz A é composta pelos elementos
a_{21},\,a_{22}\text{ e }a_{23}Enquanto a 5ª linha da matriz A é composta pelos elementos
a_{51},\,a_{52}\text{ e }a_{53}Encontrando os elementos citados, temos
a_{21}=2\cdot2+1=5 a_{22}=2\cdot2+2=6 a_{23}=2-3=-1Assim, a 2ª linha é dada por
(5,\,6,\,-1) a_{51}=2\cdot5+1=11 a_{52}=2\cdot5+2=12 a_{53}=2\cdot5+3=13Assim, a 5ª linha é dada por
(11,\,12,\,13)Multiplicando, teremos
b_{52}=\dfrac12\,(5,\,6,\,-1)\cdot(11,\,12,\,13) =\dfrac12\left(5\cdot11+6\cdot12+(-1)\cdot13\right) =\dfrac12(55+72-13) =\dfrac12\cdot114=57QUESTÃO 12
O proprietário de um restaurante verifica que, com as 12 mesas que o restaurante possui, ele consegue ter um lucro diário de R$ 15,00 por mesa.
O restaurante foi reformado e foram acrescentadas x mesas. Com isso, o lucro diário, por mesa, tanto nova quanto antiga, diminuiu R$ 0,40 para cada mesa acrescentada.
Chamando de y o lucro do proprietário, por dia, após a reforma, é INCORRETO afirmar que
a) o maior lucro possível para esse restaurante é obtido para um único valor de x.
b) se forem acrescentadas mais de 37 mesas, o proprietário terá prejuízo.
c) o lucro y, após a reforma, será de R$ 221,00, se, e somente se, forem acrescentadas 5 mesas.
d) O lucro alcançado com o acréscimo de 21 mesas é igual ao lucro alcançado com o acréscimo de 4 mesas.
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GABARITO D
Temos que
L(x)=y=(\text{número de mesas})\cdot(\text{lucro de cada mesa})Após o aumento de x mesas, teremos
y=(12+x)(15-0,4x) y=-0,4x^2+15x-4,8x+180 y=-0,4x^2+10,2x+180Vemos que o lucro é representado por uma função quadrática de concavidade para baixo. Logo, existe um lucro máximo e um valor de x que maximiza esse lucro.
x_v=\dfrac{-10,2}{2\cdot(-0,4)}=12,75Dessa forma, vemos que o restaurante nunca poderá alcançar exatamente o ponto máximo da função, pois x deve ser um número natural. Ainda assim, haverá um maior lucro possível para valores naturais de x, apenas não coincidindo exatamente com o vértice da função.
Vamos analisar as afirmativas.
a) Verdadeira.
Como x_v=12,75 não é um valor possível, pois x deve ser natural, o maior lucro ocorrerá no valor natural mais próximo do vértice.
x=12 f(12)=-0,4\cdot12^2+10,2\cdot12+180 f(12)=-57,6+122,4+180=244,8Logo, o maior lucro possível será de R$ 244,80.
b) Verdadeira.
A função zera, para x>0, em
x=37,5Dessa forma, a partir de x=38 mesas, a função passa a assumir valores negativos.
c) Verdadeira.
f(5)=221Além disso, pela simetria da parábola, teríamos
f(5)=f(20,5)Porém, como x só pode ser um número natural, a única forma possível de obter lucro igual a R$ 221,00 é para
x=5d) Falsa.
f(4)=214,4 f(21)=217,8Também poderíamos perceber que 4 e 21 não são simétricos em relação ao eixo da parábola, pois
x_v=12,75QUESTÃO 13
De um bloco de madeira, com formato de cubo de aresta 8\text{ cm}, são retiradas, exatamente, 4 pirâmides regulares cujas bases são quadrados de lado 6\text{ cm}.
As pirâmides são retiradas de faces opostas, fazendo com que seus vértices coincidam com o centro do bloco.
A área da superfície total do sólido, após a retirada das 4 pirâmides, é, em \text{cm}^2, igual a
a) 360
b) 480
c) 520
d) 600
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GABARITO B
Teremos 2 faces do cubo com sua área total
S_1=2\cdot 8^2=2\cdot 64=128\text{ cm}^2Teremos as 4 faces restantes formando uma “moldura” formada por um quadrado de lado 8 cm vazado por um quadrado concêntrico de lado 6 cm.
S_2=4\cdot(8^2-6^2)=4\cdot(64-36)=4\cdot28=112\text{ cm}^2Internamente teremos a área lateral das 4 pirâmides. Cada pirâmide terá uma altura igual à metade da aresta do cubo, pois elas se encontram no centro do cubo.
Sendo assim, a altura de cada pirâmide será
H=4\text{ cm}Vamos utilizar o Teorema de Pitágoras para calcular o apótema de cada pirâmide, onde o apótema da base de cada pirâmide será
m=3\text{ cm} M^2=H^2+m^2=4^2+3^2=25 M=5Assim, nossa área lateral total das 4 pirâmides será
S_3=4\cdot\left(4\cdot\dfrac{6M}{2}\right)=8\cdot6\cdot5=240\text{ cm}^2Assim, nossa área total será
S=S_1+S_2+S_3=128+112+240=480\text{ cm}^2QUESTÃO 14
A solução da inequação 9^x-6^x-4^x>0 é
a) S=\left\lbrace x\in\mathbb{R}\mid x>\log_{\frac{3}{2}}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\right\rbrace
b) S=\left\lbrace x\in\mathbb{R}\mid x>\log_{\frac{3}{2}}\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\right\rbrace
c) S=\left\lbrace x\in\mathbb{R}\mid x>\log_{\frac{2}{3}}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\right\rbrace
d) S=\left\lbrace x\in\mathbb{R}\mid x>\log_{\frac{2}{3}}\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\right\rbrace
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GABARITO A
9^x-6^x-4^x>0 3^{2x}-3^x\cdot2^x-2^{2x}>0Dividindo ambos os membros por 2^{2x}, temos
\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2x}-\left(\dfrac{3}{2}\right)^x-1>0Fazendo
\left(\dfrac{3}{2}\right)^x=yobtemos
y^2-y-1>0As raízes da equação associada são
y=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1} =\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}Logo,
y^2-y-1>0 \iff y<\dfrac{1-\sqrt5}{2} \quad\text{ou}\quad y>\dfrac{1+\sqrt5}{2}Substituindo novamente y=\left(\dfrac32\right)^x, temos
\left(\dfrac32\right)^x<\dfrac{1-\sqrt5}{2}Essa desigualdade não possui solução, pois
\left(\dfrac32\right)^x>0Resta, portanto,
\left(\dfrac32\right)^x>\dfrac{1+\sqrt5}{2}Aplicando logaritmo de base \dfrac32 em ambos os membros, obtemos
\log_{\frac32}\left(\left(\dfrac32\right)^x\right)> \log_{\frac32}\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right) x>\log_{\frac32}\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2}\right)QUESTÃO 15
Considere, no plano cartesiano, a circunferência \lambda:
mx^2+4y^2+nxy+16x+2k+3=0em que m, n e k são números reais.
Sabe-se que a circunferência \lambda tangencia a reta de equação 4x+3y-12=0.
Analise cada proposição abaixo quanto a ser katex[/katex] verdadeira ou katex[/katex] falsa.
( ) O ponto P\left(\dfrac{2k}{3},n\right) é interior a \lambda.
( ) \lambda intersecta o eixo das ordenadas em dois pontos simétricos em relação ao eixo das abscissas.
( ) \lambda tem abscissa máxima igual à metade da ordenada máxima.
Tem-se a sequência correta em
a) F-V-V
b) F-F-V
c) V-F-F
d) V-V-F
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GABARITO A
Sendo
\lambda:;mx^2+4y^2+nxy+16x+2k+3=0.Como \lambda representa uma circunferência, os coeficientes de x^2 e y^2 devem ser iguais e o termo misto deve ser nulo. Assim,
m=4e
n=0.Substituindo esses valores na equação, obtemos
4x^2+4y^2+16x+2k+3=0.Dividindo todos os termos por 4, segue que
x^2+y^2+4x+\frac{2k+3}{4}=0.Completando o quadrado em x, temos
(x+2)^2-4+(y-0)^2+\frac{2k+3}{4}=0,ou, equivalentemente,
(x+2)^2+y^2=\frac{13-2k}{4}.Portanto, o centro da circunferência é C(-2,0) e seu raio vale
R^2=\frac{13-2k}{4} \quad\Rightarrow\quad R=\frac{\sqrt{13-2k}}{2}.Agora, seja a reta
r:;4x+3y-12=0.A distância do centro C até essa reta é
d(C,r)=\frac{|4(-2)+3(0)-12|}{\sqrt{4^2+3^2}} =\frac{20}{5}=4.Como a reta é tangente à circunferência, essa distância deve ser igual ao raio. Logo,
\frac{\sqrt{13-2k}}{2}=4.Assim,
\sqrt{13-2k}=8 \Rightarrow 13-2k=64 \Rightarrow k=-\frac{51}{2}.Analisando as alternativas
I) Falsa
Substituindo o valor de k, temos
P\left(\frac{2k}{3},,n\right)=P(-17,0).Logo,
d(P,C)=\sqrt{(-2-(-17))^2+(0-0)^2} =\sqrt{15^2} =15>4.Assim, o ponto não pertence à circunferência.
II) Verdadeira
III) VERDADEIRA
Logo temos F – V – V.
QUESTÃO 16
Considere, no Plano de Argand-Gauss, os números complexos z=x+yi, em que x e y são números reais e i é a unidade imaginária.
Sobre a igualdade 3z+\overline{(z+i)}=2-2i, é correto afirmar que
a) \dfrac{z}{i}=\overline{z}.
b) |z|=2\sqrt{2}.
c) o argumento de z é \theta=\dfrac{3\pi}{4}.
d) i\cdot z tem afixo no 1^\circ quadrante.
Ver resolução
GABARITO D
Temos z=x+yi e
3z+\overline{(z+i)}=2-2i, \qquad x,y\in\mathbb{R}.Substituindo z=x+yi, obtemos
3(x+yi)+\left(x-(y+1)i\right)=2-2i.Desenvolvendo,
3x+3yi+x-yi-i=2-2i.Logo, 4x+(2y-1)i=2-2i. Igualando as partes real e imaginária, segue que
4x=2 \quad\Rightarrow\quad x=\frac12,e
2y-1=-2 \quad\Rightarrow\quad y=-\frac12.Assim,
z=\frac12-\frac12i.Analisando cada alternativa, temos:
a) Falsa
Calculando \dfrac{z}{i}, obtemos
\frac{z}{i} =\frac{\frac12-\frac12i}{i} =\frac{\left(\frac12-\frac12i\right)(-i)}{-i^2} =-\frac12-\frac12i.Como
\overline{z}=\frac12+\frac12i,segue que
\frac{z}{i}\neq\overline{z}.b) Falsa
O módulo de z é
|z| =\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(-\frac12\right)^2} =\sqrt{\frac14+\frac14} =\sqrt{\frac12} =\frac{\sqrt2}{2}.Portanto,
|z|\neq\sqrt2.c) Falsa
Temos
\tan(\theta)=\frac{y}{x} =\frac{-\frac12}{\frac12} =-1.Como x>0 e y<0, o afixo pertence ao 4º quadrante. Logo,
\theta=\frac{7\pi}{4},e não
\frac{3\pi}{4}.d) Verdadeira
Multiplicando z por i, temos
iz=i\left(\frac12-\frac12i\right) =\frac12i-\frac12i^2 =\frac12+\frac12i.Como as partes real e imaginária são positivas, o afixo pertence ao 1º quadrante.
Este simulado da Semana Especial AFA 2026 foi elaborado com questões inéditas de Matemática, seguindo o estilo de cobrança esperado para concursos militares e buscando aproximar o candidato do nível de atenção, interpretação e domínio algébrico exigido em provas como a da Academia da Força Aérea.
Ao longo do simulado, são trabalhados temas importantes da Matemática para AFA, como análise combinatória, funções, função quadrática, progressões aritmética e geométrica, trigonometria, inequações logarítmicas, inequações exponenciais, geometria plana, geometria espacial, geometria analítica, matrizes e números complexos.
Mais do que apenas resolver contas, este conjunto de questões exige leitura cuidadosa, domínio de conceitos, organização algébrica e capacidade de interpretar diferentes situações matemáticas, características fundamentais para quem busca uma preparação sólida para a prova da AFA.
A proposta do Questão do Cadete é oferecer ao candidato um treino direcionado, com questões no estilo dos concursos militares, ajudando na revisão dos principais assuntos e no desenvolvimento do raciocínio necessário para enfrentar uma prova de alto nível.
Continue acompanhando a Semana Especial AFA e utilize este simulado como parte da sua preparação para a AFA 2026, reforçando os conteúdos mais cobrados e identificando os pontos que ainda precisam de revisão.
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