Nesta página, você encontra o oitavo simulado do nosso projeto de um simulado por semana até a prova da ESA. Todas as questões são inéditas e possuem resolução no canal @questaodocadete no youtube.
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QUESTÃO 1
Em um levantamento entre 100 estudantes sobre o estudo de idiomas, foram obtidos os seguintes resultados: 41 estudam inglês, 29 estudam francês e 26 estudam espanhol; 15 estudam inglês e francês, 8 estudam francês e espanhol, 19 estudam inglês e espanhol; 5 estudam os três idiomas. O número de pessoas que não estudam nenhum desses idiomas é
(A) 30
(B) 40
(C) 41
(D) 42
(E) 43
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GABARITO C
Sejam I, F e E os conjuntos dos estudantes que estudam inglês, francês e espanhol, respectivamente.
Pelo princípio da inclusão-exclusão,
n(I\cup F\cup E)=n(I)+n(F)+n(E)-n(I\cap F)-n(F\cap E)-n(I\cap E)+n(I\cap F\cap E).
Substituindo os valores, obtemos n(I\cup F\cup E)=41+29+26-15-8-19+5=59.
Portanto, dos 100 estudantes entrevistados, 100-59=41 não estudam nenhum desses idiomas.
QUESTÃO 2
Segundo a figura abaixo, o valor de b+c+h é igual a
(A) 5(3+2\sqrt3)
(B) 5(2+3\sqrt3)
(C) 2(5+3\sqrt3)
(D) 3(2+5\sqrt3)
(E) 10(1+\sqrt3)
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GABARITO B
A hipotenusa do triângulo mede a=5+15=20. Aplicando as relações métricas no triângulo retângulo, temos b^2=a\cdot15=20\cdot15=300, de modo que b=10\sqrt3.
Analogamente, c^2=a\cdot5=20\cdot5=100, logo c=10.
Para a altura relativa à hipotenusa, temos h^2=5\cdot15=75, portanto h=5\sqrt3.
Assim, b+c+h=10\sqrt3+10+5\sqrt3=10+15\sqrt3=5(2+3\sqrt3).
QUESTÃO 3
O valor positivo de k para que a equação x^2-(k+1)x+(10+k)=0 tenha uma raiz igual ao dobro da outra é
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 10
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GABARITO D
Como uma raiz é o dobro da outra, podemos representar as raízes por r e 2r.
Pelas relações de Girard, a soma das raízes fornece r+2r=k+1, isto é, 3r=k+1. Portanto, r=\dfrac{k+1}{3}.
O produto das raízes fornece r\cdot2r=10+k, ou seja, 2r^2=10+k. Substituindo o valor de r, obtemos 2\left(\dfrac{k+1}{3}\right)^2=10+k.
Multiplicando por 9, segue que 2(k+1)^2=9(10+k). Desenvolvendo, temos 2k^2+4k+2=90+9k, resultando em 2k^2-5k-88=0.
O discriminante é \Delta=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-88)=729. Logo, k=\dfrac{5\pm27}{4}, o que fornece k=8 ou k=-\dfrac{11}{2}.
Como se deseja o valor positivo, concluímos que k=8.
QUESTÃO 4
Para que o sistema \begin{cases}-y+az=-2\\\\ax-2y+4z=-5\\\\x+y+z=a\end{cases}
admita uma única solução devemos ter
(A) a\neq-4 e a\neq1
(B) a\neq4 e a\neq-1
(C) a\neq-4 e a\neq-1
(D) a\neq4 e a\neq1
(E) a\neq-4
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GABARITO A
Para que o sistema admita uma única solução, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero.
A matriz dos coeficientes é A=\begin{pmatrix}0&-1&a\\a&-2&4\\1&1&1\end{pmatrix}. Portanto,
\det A=\begin{vmatrix}0&-1&a\\a&-2&4\\1&1&1\end{vmatrix}=(a-4)+a(a+2).
Simplificando, \det A=a^2+3a-4=(a+4)(a-1).
Para haver uma única solução, devemos ter katex(a-1)\neq0[/katex]. Logo, a\neq-4 e a\neq1.
QUESTÃO 5
A soma das raízes da equação \left|x^2-2x-4\right|=4 é
(A) 0
(B) 2
(C) 4
(D) 6
(E) 8
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GABARITO C
Pela definição de módulo, a equação |x^2-2x-4|=4 pode ser dividida em dois casos.
No primeiro caso, x^2-2x-4=4. Assim, x^2-2x-8=0, ou ainda, katex(x+2)=0[/katex]. Portanto, x=4 ou x=-2.
No segundo caso, x^2-2x-4=-4. Desse modo, x^2-2x=0, isto é, x(x-2)=0. Logo, x=0 ou x=2.
As raízes são -2, 0, 2 e 4. Portanto, sua soma é -2+0+2+4=4.
QUESTÃO 6
A solução da equação trigonométrica \cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos2x é
(A) x=\frac{\pi}{3}+2k\pi ou x=\frac{\pi}{30}+\frac{2k\pi}{5}, com k\in\mathbb{Z}.
(B) x=\frac{\pi}{6}+2k\pi ou x=\frac{\pi}{15}+\frac{2k\pi}{5}, com k\in\mathbb{Z}.
(C) x=\frac{\pi}{6}+2k\pi ou x=\frac{2\pi}{15}+\frac{2k\pi}{5}, com k\in\mathbb{Z}.
(D) x=\frac{\pi}{6}+2k\pi ou x=\frac{\pi}{30}+\frac{k\pi}{5}, com k\in\mathbb{Z}.
(E) x=\frac{\pi}{6}+2k\pi ou x=\frac{\pi}{30}+\frac{2k\pi}{5}, com k\in\mathbb{Z}.
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GABARITO E
Sabemos que, se \cos A=\cos B, então A=2k\pi+B ou A=2k\pi-B, com k\in\mathbb Z.
Assim, para \cos\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos2x, temos 3x-\dfrac{\pi}{6}=2k\pi+2x ou 3x-\dfrac{\pi}{6}=2k\pi-2x.
No primeiro caso, x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi.
No segundo caso, 5x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, de modo que x=\dfrac{\pi}{30}+\dfrac{2k\pi}{5}.
Portanto, S=\left\lbrace x\in\mathbb R\mid x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \text{ou}\ x=\dfrac{\pi}{30}+\dfrac{2k\pi}{5},\ k\in\mathbb Z\right\rbrace.
QUESTÃO 7
O valor da expressão \log_2 3\cdot\log_3 10\cdot\log_{10}2 é
(A) 3
(B) 10
(C) 4
(D) 1
(E) 2
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GABARITO D
Utilizando a propriedade \log_a b\cdot\log_b c=\log_a c, temos \log_2 3\cdot\log_3 10=\log_2 10.
Logo, \log_2 3\cdot\log_3 10\cdot\log_{10}2=\log_2 10\cdot\log_{10}2=\log_2 2=1.
QUESTÃO 8
Um cilindro reto tem 48\pi\text{ m}^2 de área total. A altura do cilindro mede 5\text{ m}. O volume do cilindro é
(A) 45\pi\text{ m}^3
(B) 30\pi\text{ m}^3
(C) 20\pi\text{ m}^3
(D) 60\pi\text{ m}^3
(E) 80\pi\text{ m}^3
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GABARITO A
A área total de um cilindro reto é dada por A_T=2\pi r^2+2\pi rh. Como A_T=48\pi e h=5, temos 2\pi r^2+10\pi r=48\pi.
Dividindo a equação por 2\pi, obtemos r^2+5r-24=0. Fatorando, katex(r-3)=0[/katex].
Como o raio deve ser positivo, temos r=3. Portanto, o volume do cilindro é V=\pi r^2h=\pi\cdot3^2\cdot5=45\pi\text{ m}^3.
QUESTÃO 9
Uma sorveteria utiliza copos de forma cônica para colocar sorvete. O copo tem 10\text{ cm} de profundidade por 4\text{ cm} de diâmetro na abertura. Em um copo, foram colocadas duas colheradas de sorvete, cada uma delas com volume de \frac{16\pi}{3}\text{ cm}^3. Se o sorvete colocado no copo derreter, o volume de sorvete que ainda poderá ser colocado no copo sem transbordar será
(A) \frac{16\pi}{3}\text{ cm}^3
(B) \frac{8\pi}{3}\text{ cm}^3
(C) \frac{4\pi}{3}\text{ cm}^3
(D) \frac{2\pi}{3}\text{ cm}^3
(E) \frac{\pi}{3}\text{ cm}^3
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GABARITO B
O copo tem formato cônico, com altura h=10\text{ cm} e diâmetro 4\text{ cm}. Portanto, seu raio é r=2\text{ cm}.
O volume total do copo é V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h=\dfrac{1}{3}\pi\cdot2^2\cdot10=\dfrac{40\pi}{3}\text{ cm}^3.
Foram colocadas duas colheradas, cada uma com volume \dfrac{16\pi}{3}\text{ cm}^3. Assim, o volume de sorvete colocado foi 2\cdot\dfrac{16\pi}{3}=\dfrac{32\pi}{3}\text{ cm}^3.
Portanto, ainda poderão ser colocados \dfrac{40\pi}{3}-\dfrac{32\pi}{3}=\dfrac{8\pi}{3}\text{ cm}^3 de sorvete sem que o copo transborde.
QUESTÃO 10
O valor de a para que 2i seja uma das raízes da equação x^4-3x^3+6x^2+ax+8=0 é
(A) 12
(B) 8
(C) -6
(D) -8
(E) -12
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GABARITO E
Como 2i é uma raiz do polinômio, devemos ter katex^4-3(2i)^3+6(2i)^2+a(2i)+8=0[/katex].
Calculando as potências, obtemos katex^2=-4[/katex], katex^3=-8i[/katex] e katex^4=16[/katex].
Substituindo, temos 16-3(-8i)+6(-4)+2ai+8=0. Assim, 16+24i-24+2ai+8=0.
A parte real é nula, restando katexi=0[/katex]. Logo, 24+2a=0 e, portanto, a=-12.
QUESTÃO 11
Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1,3,5,7,9 e escrevem-se os números formados em ordem crescente. A posição que o número 53179 ocupa é o
(A) 53º lugar
(B) 54º lugar
(C) 55º lugar
(D) 56º lugar
(E) 57º lugar
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GABARITO C
Antes dos números iniciados por 5, aparecem todos aqueles iniciados por 1 e por 3. Para cada primeiro algarismo fixado, os outros quatro podem ser permutados de 4!=24 maneiras. Portanto, há 2\cdot24=48 números antes daqueles iniciados por 5.
No número 53179, o segundo algarismo é 3. Entre os algarismos restantes \lbrace1,3,7,9\rbrace, apenas o algarismo 1 poderia aparecer antes do 3. Fixando o início 51, os três algarismos restantes podem ser permutados de 3!=6 maneiras.
No início 531, o algarismo 1 já é o menor dos restantes, não havendo novos números a contabilizar.
Assim, existem 48+6=54 números antes de 53179. Portanto, ele ocupa a posição 54+1=55.
QUESTÃO 12
A área do triângulo formado pelas interseções das retas de equações x+2y-1=0, x-2y-7=0 e y-5=0, em unidades de área, é
(A) \frac{169}{2}
(B) \frac{157}{2}
(C) \frac{143}{2}
(D) \frac{121}{2}
(E) \frac{117}{2}
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GABARITO A
A interseção da reta x+2y-1=0 com y=5 é obtida por x+2(5)-1=0, resultando em x=-9. Logo, um dos vértices é A=(-9,5).
A interseção de x-2y-7=0 com y=5 fornece x-2(5)-7=0, de modo que x=17. Assim, B=(17,5).
Para determinar a interseção das duas retas oblíquas, resolvemos o sistema x+2y=1 e x-2y=7. Somando as equações, encontramos 2x=8, logo x=4. Substituindo em x+2y=1, temos 4+2y=1, resultando em y=-\dfrac32. Portanto, C=\left(4,-\dfrac32\right).
A base AB mede 17-(-9)=26. A altura é a distância vertical entre C e a reta y=5, isto é, h=5-\left(-\dfrac32\right)=\dfrac{13}{2}.
Portanto, a área do triângulo é S=\dfrac{AB\cdot h}{2}=\dfrac{26\cdot\frac{13}{2}}{2}=\dfrac{169}{2}.
QUESTÃO 13
O menor dos eixos da cônica 9x^2-16y^2-36x-32y-124=0 mede
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 10
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GABARITO C
Agrupando os termos da equação, temos 9(x^2-4x)-16(y^2+2y)-124=0.
Completando os quadrados, utilizamos x^2-4x=(x-2)^2-4 e y^2+2y=(y+1)^2-1. Substituindo, obtemos 9[(x-2)^2-4]-16[(y+1)^2-1]-124=0.
Simplificando, segue que 9(x-2)^2-16(y+1)^2=144. Dividindo por 144, encontramos \dfrac{(x-2)^2}{16}-\dfrac{(y+1)^2}{9}=1.
Trata-se de uma hipérbole com a^2=16 e b^2=9. Portanto, a=4 e b=3. Seus eixos medem 2a=8 e 2b=6.
Logo, o menor dos eixos mede 6.
QUESTÃO 14
O ponto comum aos gráficos de f(x)=4^{x-1} e g(x)=2^x é o ponto P(m,n), onde \frac{n}{m} é
(A) 2
(B) 4
(C) 8
(D) 16
(E) 64
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GABARITO D
No ponto comum aos gráficos, temos f(x)=g(x). Portanto, 4^{x-1}=2^x.
Como 4=2^2, podemos escrever katex^{x-1}=2^x[/katex], isto é, 2^{2x-2}=2^x.
Igualando os expoentes, temos 2x-2=x, resultando em x=2. Logo, m=2.
Substituindo em g(x)=2^x, obtemos n=2^2=4. Assim, o ponto comum é P=(2,4) e n^m=4^2=16.
O Simulado 8 do Projeto ESA foi elaborado para reproduzir o estilo das provas da Escola de Sargentos das Armas (ESA), reunindo questões inéditas que abrangem os principais conteúdos exigidos no concurso, distribuídos em diferentes níveis de dificuldade. O objetivo é proporcionar ao candidato uma revisão completa da teoria, estimular o raciocínio matemático e desenvolver maior rapidez e segurança na resolução de problemas.
A prova inicia com uma questão de Análise Combinatória e Teoria dos Conjuntos, utilizando o princípio da inclusão-exclusão para determinar a quantidade de estudantes que não pertencem a nenhum dos conjuntos apresentados. Em seguida, o candidato encontra uma questão de Geometria Plana, envolvendo um triângulo retângulo com alturas e projeções, exigindo a aplicação de relações métricas no triângulo retângulo.
Na sequência, aparece uma questão de Equação do Segundo Grau, explorando as Relações de Girard em uma situação em que uma raiz é o dobro da outra. Logo depois, o simulado aborda Sistemas Lineares, analisando a condição para existência de solução única em um sistema com parâmetro real.
A prova também revisa Módulo, por meio de uma equação envolvendo valor absoluto de uma função quadrática, seguida por uma questão de Trigonometria, utilizando as soluções gerais da equação trigonométrica envolvendo a função cosseno. Em seguida, uma questão de Logaritmos explora a propriedade da mudança de base em uma expressão envolvendo três logaritmos.
Na reta final, o candidato resolve uma questão de Geometria Espacial, envolvendo área total e volume de um cilindro, além de outra sobre cones, relacionando o volume do recipiente com o volume de esferas de sorvete. O simulado também contempla Números Complexos, utilizando raízes complexas de um polinômio de quarto grau, e uma questão de Análise Combinatória, envolvendo a posição de um número em uma ordenação lexicográfica de permutações.
Por fim, a prova revisa Geometria Analítica, por meio do cálculo da área de um triângulo determinado pela interseção de retas, apresenta uma questão de Cônicas, envolvendo a determinação do menor eixo de uma hipérbole, e encerra com uma questão de Função Exponencial, analisando o ponto de interseção entre dois gráficos exponenciais.
De maneira geral, trata-se de um simulado bastante completo, revisando conteúdos essenciais como Teoria dos Conjuntos, Análise Combinatória, Geometria Plana, Relações Métricas no Triângulo Retângulo, Equações do Segundo Grau, Relações de Girard, Sistemas Lineares, Módulo, Trigonometria, Logaritmos, Geometria Espacial, Cilindros, Cones, Números Complexos, Geometria Analítica, Cônicas e Funções Exponenciais. É uma excelente ferramenta para candidatos que desejam consolidar os principais tópicos cobrados na ESA por meio de questões inéditas e contextualizadas, desenvolvendo precisão, rapidez e confiança para o dia da prova.
Assuntos abordados neste simulado
- Teoria dos Conjuntos
- Princípio da Inclusão-Exclusão
- Análise Combinatória
- Permutações
- Ordenação Lexicográfica
- Geometria Plana
- Triângulo Retângulo
- Relações Métricas no Triângulo Retângulo
- Equações do Segundo Grau
- Relações de Girard
- Sistemas Lineares
- Discussão de Sistemas
- Parâmetro Real
- Módulo
- Equações Modulares
- Trigonometria
- Equações Trigonométricas
- Função Cosseno
- Logaritmos
- Mudança de Base
- Propriedades dos Logaritmos
- Geometria Espacial
- Cilindro
- Área Total do Cilindro
- Volume do Cilindro
- Cone
- Volume do Cone
- Números Complexos
- Raízes Complexas de Polinômios
- Geometria Analítica
- Área de Triângulo
- Retas
- Cônicas
- Hipérbole
- Eixos da Hipérbole
- Função Exponencial
- Interseção de Gráficos
- Equações Exponenciais
- Matemática ESA
- Simulado ESA
- Questões ESA
- Concurso ESA
- Preparação ESA
- Projeto ESA
- Questão do Cadete
Esse conjunto de assuntos faz do Simulado 8 uma excelente ferramenta para revisar os principais conteúdos exigidos na prova de Matemática da ESA, permitindo ao candidato consolidar conceitos fundamentais, praticar questões no estilo da banca e identificar eventuais dificuldades antes do exame oficial.
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