Nesta página, você encontra o nono simulado do nosso projeto de um simulado por semana até a prova da ESA. Todas as questões são inéditas e possuem resolução no canal @questaodocadete no youtube.
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QUESTÃO 1
O maior valor inteiro de x que satisfaz a desigualdade \log_{1-2x}(x^2-2)<1 é igual a
(A) 3
(B) -3
(C) 2
(D) -2
(E) 4
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GABARITO D
Primeiro, impomos as condições de existência do logaritmo. Devemos ter x^2-2>0, ou seja, x<-\sqrt{2} ou x>\sqrt{2}.
Além disso, a base deve ser positiva e diferente de 1. Assim, 1-2x>0, o que implica x<\dfrac12. Também devemos ter 1-2x\neq 1, isto é, x\neq 0.
Combinando as condições, ficamos com x<-\sqrt{2}. Nesse intervalo, a base 1-2x é maior que 1, então a função logarítmica é crescente.
Portanto, a desigualdade \log_{1-2x}(x^2-2)<1 equivale a x^2-2<1-2x.
Resolvendo:
x^2-2<1-2x
x^2+2x-3<0
katex display=true(x-1)<0[/katex]
Logo:
-3<x<1
Agora, intersectando com a condição x<-\sqrt{2}, obtemos:
-3<x<-\sqrt{2}
O único valor inteiro nesse intervalo é x=-2.
Portanto, o maior valor inteiro de x é \boxed{-2}.
QUESTÃO 2
Uma pirâmide hexagonal regular possui área da base igual à metade de sua área lateral. Sendo o apótema da pirâmide igual a 4\text{ cm}, a medida, em cm, da altura da pirâmide é igual a
(A) 2
(B) 3
(C) 2\sqrt3
(D) 3\sqrt3
(E) \frac32
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GABARITO C
Seja a o lado do hexágono da base.
A área da base é
A_b=\frac{3\sqrt3}{2}a^2
Como o apótema da pirâmide (geratriz) mede 4 cm, a área lateral é
A_l=\frac{6a\cdot4}{2}=12a
Sabendo que a área da base é igual à metade da área lateral,
\frac{3\sqrt3}{2}a^2=\frac{12a}{2}=6a
Como a>0,
\frac{3\sqrt3}{2}a=6
a=\frac{12}{3\sqrt3}=\frac{4}{\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{3}
O apótema do hexágono da base vale
r=\frac{\sqrt3}{2}a=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{4\sqrt3}{3}=2
No triângulo retângulo formado pela altura da pirâmide, pelo apótema da base e pela geratriz,
h^2+r^2=g^2
Substituindo r=2 e g=4,
h^2+2^2=4^2
h^2=12
h=2\sqrt3
Portanto, a altura da pirâmide é \boxed{2\sqrt3}.
QUESTÃO 3
Em um triângulo ABC, sendo o ângulo \widehat A=60^\circ, o menor ângulo formado pela bissetriz interna do ângulo B e a bissetriz externa do ângulo C é igual a
(A) 20^\circ
(B) 30^\circ
(C) 40^\circ
(D) 45^\circ
(E) 50^\circ
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GABARITO B
No triângulo ABC, temos \widehat{A}=60^\circ. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^\circ, segue que
\widehat{B}+\widehat{C}=120^\circ
A bissetriz interna de B divide esse ângulo em duas partes iguais, e a bissetriz externa de C divide o ângulo externo de C em duas partes iguais.
Uma propriedade importante diz que o menor ângulo formado pela bissetriz interna de um ângulo e pela bissetriz externa de outro ângulo de um triângulo é igual à metade do terceiro ângulo.
Assim, o menor ângulo formado pela bissetriz interna de B e pela bissetriz externa de C é
\frac{\widehat{A}}{2}=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ
Portanto, o menor ângulo formado é \boxed{30^\circ}.
QUESTÃO 4
O sargento mestre de salto da Brigada Paraquedista deve formar uma equipe para um salto de rotina, onde deverá levar para a aeronave apenas quatro dos sete soldados que tem à sua disposição. Já em voo, estando todos prontos para saltar, todos ficam alinhados em fila para o salto e, quando a luz verde acende, saltam. O número de maneiras distintas que esse salto de rotina pode ser feito é igual a
(A) 24
(B) 120
(C) 360
(D) 720
(E) 840
Ver resolução
GABARITO E
Primeiro, devemos escolher 4 soldados entre os 7 disponíveis. Isso pode ser feito de \binom{7}{4} maneiras.
Depois de escolhidos, esses 4 soldados devem ser organizados em fila para o salto. Como a ordem importa, temos 4! maneiras de ordenar os soldados escolhidos.
Assim, o número total de maneiras distintas é
\binom{7}{4}\cdot 4!
\frac{7!}{4!\cdot 3!}\cdot 4!
\frac{7!}{3!}
7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=840
Portanto, o número de maneiras distintas é \boxed{840}.
QUESTÃO 5
Sobre a função f(x)=\operatorname{sen}x, nos intervalos reais \left[\frac\pi5,\frac{3\pi}{10}\right] e \left[\frac{13\pi}{10},\frac{17\pi}{12}\right], podemos afirmar que ela é, respectivamente,
(A) crescente e crescente
(B) crescente e decrescente
(C) decrescente e crescente
(D) decrescente e decrescente
(E) impossível de se determinar
Ver resolução
GABARITO B
Temos a função f(x)=\sen x. Para analisar se ela é crescente ou decrescente, observamos o sinal de sua derivada:
f'(x)=\cos x
No primeiro intervalo,
\left[\frac{\pi}{5},\frac{3\pi}{10}\right]
temos
\frac{\pi}{5}=36^\circ e \frac{3\pi}{10}=54^\circ
Esse intervalo está no primeiro quadrante, onde \cos x>0. Portanto, nesse intervalo, a função f(x)=\sen x é crescente.
No segundo intervalo corrigido,
\left[\frac{13\pi}{10},\frac{17\pi}{12}\right]
temos
\frac{13\pi}{10}=234^\circ e \frac{17\pi}{12}=255^\circ
Esse intervalo está no terceiro quadrante, onde \cos x<0. Portanto, nesse intervalo, a função f(x)=\sen x é decrescente.
Assim, a função é, respectivamente, \boxed{\text{crescente e decrescente}}.
QUESTÃO 6
O menor valor de n\in\mathbb{N}^* tal que (1-\sqrt3i)^n seja um número real puro e negativo é
(A) primo e par
(B) múltiplo de 3
(C) múltiplo de 4
(D) múltiplo de 5
(E) múltiplo de 6
Ver resolução
GABARITO B
Escrevemos o número complexo z=1-\sqrt3i na forma trigonométrica.
Seu módulo é
|1-\sqrt3,i|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2
Como o ponto pertence ao quarto quadrante, seu argumento é -\dfrac{\pi}{3}. Assim,
1-\sqrt3,i=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)
Aplicando a fórmula de De Moivre,
z^n=2^n\left(\cos\left(-\frac{n\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{n\pi}{3}\right)\right)
Para que o resultado seja um número real puro, devemos ter \sin\left(-\frac{n\pi}{3}\right)=0 o que implica n=3k,\quad k\in\mathbb Z
Além disso, o número deve ser negativo. Logo, \cos\left(-\frac{n\pi}{3}\right)=-1
Substituindo n=3k, obtemos \cos(-k\pi)=(-1)^k
Portanto, k deve ser ímpar. O menor valor positivo é k=1, de modo que n=3
Assim, o menor valor de n é um múltiplo de 3.
QUESTÃO 7
O determinante da matriz inversa da matriz A_{2\times2}, tal que a_{ij}=\begin{cases}2i-j,&\text{se }i>j\\j^2-1,&\text{se }i=j\\3j-2i,&\text{se }i<j\end{cases}, é igual a
(A) \frac12
(B) -\frac12
(C) -\frac14
(D) \frac1{12}
(E) -\frac1{12}
Ver resolução
GABARITO E
Como a matriz é A_{2\times 2}, temos i,j\in\lbrace 1,2\rbrace.
Calculando os elementos da matriz:
a_{11}=1^2-1=0
a_{12}=3\cdot2-2\cdot1=4
a_{21}=2\cdot2-1=3
a_{22}=2^2-1=3
Assim,
A=\begin{pmatrix}0&4\\3&3\end{pmatrix}
O determinante de A é
\det(A)=0\cdot3-4\cdot3=-12
Como
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}
temos
\det(A^{-1})=\frac{1}{-12}=-\frac{1}{12}
Portanto, o determinante da matriz inversa é \boxed{-\dfrac{1}{12}}.
QUESTÃO 8
O polinômio P(x)=x^3-7x^2+ax+b possui raízes reais x_1, x_2 e x_3, tais que x_3=-3x_1 e 3x_1=-2x_2. O valor de 2a-\frac b3 é igual a
(A) -36
(B) -18
(C) -12
(D) -6
(E) 12
Ver resolução
GABARITO C
Pelas relações de Girard, como P(x)=x^3-7x^2+ax+b, temos
x_1+x_2+x_3=7
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=a
x_1x_2x_3=-b
Do enunciado, x_3=-3x_1 e 3x_1=-2x_2;\Longrightarrow;x_2=-\frac{3x_1}{2}
Substituindo essas relações na soma das raízes,
x_1-\frac{3x_1}{2}-3x_1=7
-\frac{7x_1}{2}=7
x_1=-2
Logo, x_2=3\qquad\text{e}\qquad x_3=6
Calculando a,
a=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=(-2)(3)+(-2)(6)+3(6)=0
Agora, calculando b,
-b=x_1x_2x_3=(-2)(3)(6)=-36
b=36
Assim, 2a-\frac{b}{3}=2(0)-\frac{36}{3}=-12
Portanto, o valor procurado é \boxed{2a-\frac{b}{3}=-12}
QUESTÃO 9
Sendo f\left(\frac{2x-1}{2-3x}\right)=x^2+1 uma função real definida em seu domínio mais amplo, o valor de f\left(-\frac12\right) é igual a
(A) \frac54
(B) \frac34
(C) 1
(D) \frac14
(E) \frac12
Ver resolução
GABARITO C
Queremos calcular f\left(-\dfrac12\right). Para isso, devemos encontrar o valor de x que faz \dfrac{2x-1}{2-3x}=-\dfrac12.
Fazendo a multiplicação cruzada, temos 2(2x-1)=-(2-3x). Logo, 4x-2=-2+3x, daí x=0.
Substituindo esse valor na expressão dada, obtemos f\left(-\dfrac12\right)=0^2+1=1.
Portanto, o valor pedido é \boxed{1}.
Alternativa \boxed{C}.
QUESTÃO 10
O menor número de termos para que a sequência (2{,}2;\ 1{,}9;\ 1{,}6;\ 1{,}3;\ldots) tenha como soma dos termos um número negativo é igual a
(A) 15
(B) 16
(C) 17
(D) 18
(E) 19
Ver resolução
GABARITO B
A sequência é uma progressão aritmética com a_1=2{,}2 e razão r=-0{,}3.
Seu termo geral é a_n=2{,}2-0{,}3(n-1)=2{,}5-0{,}3n.
A soma dos n primeiros termos é S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}. Assim,
S_n=\dfrac{n(2{,}2+2{,}5-0{,}3n)}{2}=\dfrac{n(4{,}7-0{,}3n)}{2}.
Como n>0, basta impor 4{,}7-0{,}3n<0, ou seja,
0{,}3n>4{,}7\;\Longrightarrow\;n>\dfrac{47}{3}\approx15{,}67.
Portanto, o menor número inteiro de termos é \boxed{16}.
De fato, S_{15}=1{,}5>0 e S_{16}=-0{,}8<0.
Logo, a resposta é a alternativa \boxed{(B)}.
QUESTÃO 11
O coeficiente do termo x^{-3} na expansão de \left(2x-\dfrac{1}{x^2}\right)^6 é igual a
a) 64
b) -192
c) -160
d) -12
e) 240
Ver resolução
GABARITO C
Pelo Binômio de Newton, o termo geral da expansão é
T_{k+1}=\binom{6}{k}(2x)^{6-k}\left(-\frac{1}{x^2}\right)^k,\qquad k=0,1,\ldots,6.
Simplificando,
\begin{aligned} T_{k+1} &=\binom{6}{k}2^{6-k}x^{6-k}(-1)^kx^{-2k}\\ &=\binom{6}{k}2^{6-k}(-1)^kx^{6-3k}. \end{aligned}Queremos determinar o termo que contém x^{-3}. Portanto, devemos ter 6-3k=-3.
Logo, -3k=-9\quad\Longrightarrow\quad k=3.
Substituindo k=3 no termo geral, obtemos o coeficiente:
\binom{6}{3}2^{6-3}(-1)^3 =20\cdot 8\cdot(-1) =-160.Portanto, o coeficiente procurado é \boxed{-160}.
QUESTÃO 12
Marque a alternativa correta.
a) Uma reta r pode ser paralela a dois planos não coincidentes \alpha e \beta, e esses planos secantes entre si.
b) Se dois planos \alpha e \beta são paralelos entre si, então qualquer reta de \alpha é paralela a qualquer reta de \beta.
c) Dois planos \alpha e \beta são perpendiculares se toda reta de \alpha é perpendicular a toda reta de \beta.
d) Sejam dois planos \alpha e \beta, não coincidentes, paralelos entre si, e \gamma um plano secante a \alpha e \beta simultaneamente, mas não perpendicular. A interseção de \gamma com \alpha é uma reta reversa com a interseção de \gamma com \beta.
d) Duas retas concorrentes podem formar diversos planos secantes entre si.
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GABARITO A
A alternativa correta é a \boxed{(A)}.
Uma reta pode ser paralela a dois planos secantes. Por exemplo, considere dois planos \alpha e \beta que se interceptam em uma reta s. Se uma reta r é paralela à reta s, mas não está contida em nenhum dos dois planos, então r será paralela tanto ao plano \alpha quanto ao plano \beta.
Assim, a situação descrita em (A) é possível.
A alternativa (B) é falsa, pois, mesmo que dois planos sejam paralelos, uma reta de um deles não precisa ser paralela a qualquer reta do outro; elas podem ter direções diferentes.
A alternativa (C) é falsa, pois planos perpendiculares não exigem que toda reta de um plano seja perpendicular a toda reta do outro.
A alternativa (D) é falsa, pois, se \alpha\parallel\beta e \gamma corta ambos, então as retas de interseção são paralelas, não reversas.
A alternativa (E) é falsa, pois duas retas concorrentes determinam um único plano.
Portanto, a resposta é \boxed{(A)}.
QUESTÃO 13
A área do quadrilátero formado pelos pontos A(1,2), B(-2,0), C(4,1) e D(-2,2) no plano cartesiano, em unidades de área, é igual a
a) 4,5
b) 5,5
c) 6,5
d) 7,5
e) 8,5
Ver resolução
GABARITO D
Considerando os vértices do quadrilátero na ordem B(-2, 0),\ D(-2,2),\ A(1,2),\ C(4, 1) e aplicando a regra do cadarço, obtemos
\text{Área}=\dfrac12\left|(-2)(2)+(-2)(2)+1(1)+4(0)-\left[0(-2)+2(1)+2(4)+1(-2)\right]\right|.
Assim, \text{Área}=\dfrac12|-7-8|=\dfrac{15}{2}=7,5.
QUESTÃO 14
Seja 2x^2+2y^2-mx+ny+k=0, com m,n,k\in\mathbb{R}, uma circunferência de centro (-2,1) e que tangencia um dos eixos cartesianos. O valor de m+n+k para que a circunferência tenha o maior raio possível é igual a
a) -10
b) -8
c) -6
d) -4
e) -2
Ver resolução
GABARITO A
Dividindo a equação por 2, temos x^2+y^2-\dfrac{m}{2}x+\dfrac{n}{2}y+\dfrac{k}{2}=0.
Comparando com x^2+y^2-2ax-2by+c=0, cujo centro é (a,b), obtemos a=\dfrac{m}{4} e b=-\dfrac{n}{4}.
Como o centro é (-2,1), segue que \dfrac{m}{4}=-2, portanto m=-8. Além disso, -\dfrac{n}{4}=1, portanto n=-4.
A distância do centro (-2,1) ao eixo x é 1, e a distância ao eixo y é 2. Para que a circunferência tangencie um dos eixos e tenha o maior raio possível, devemos tomar r=2.
Substituindo m=-8 e n=-4, temos 2x^2+2y^2+8x-4y+k=0. Dividindo por 2, fica x^2+y^2+4x-2y+\dfrac{k}{2}=0.
Completando quadrados, obtemos (x+2)^2+(y-1)^2=5-\dfrac{k}{2}.
Como r=2, então 4=5-\dfrac{k}{2}, daí k=2.
Assim, m+n+k=-8-4+2=-10.
O Simulado 9 do Projeto ESA foi elaborado para reproduzir o estilo das provas da Escola de Sargentos das Armas (ESA), reunindo questões inéditas que abrangem os principais conteúdos exigidos no concurso, distribuídos em diferentes níveis de dificuldade. O objetivo é proporcionar ao candidato uma revisão completa da teoria, estimular o raciocínio matemático e desenvolver maior rapidez e segurança na resolução de problemas.
A prova inicia com uma questão de Análise Combinatória e Teoria dos Conjuntos, utilizando o princípio da inclusão-exclusão para determinar a quantidade de estudantes que não pertencem a nenhum dos conjuntos apresentados. Em seguida, o candidato encontra uma questão de Geometria Plana, envolvendo um triângulo retângulo com alturas e projeções, exigindo a aplicação de relações métricas no triângulo retângulo.
Na sequência, aparece uma questão de Equação do Segundo Grau, explorando as Relações de Girard em uma situação em que uma raiz é o dobro da outra. Logo depois, o simulado aborda Sistemas Lineares, analisando a condição para existência de solução única em um sistema com parâmetro real.
A prova também revisa Módulo, por meio de uma equação envolvendo valor absoluto de uma função quadrática, seguida por uma questão de Trigonometria, utilizando as soluções gerais da equação trigonométrica envolvendo a função cosseno. Em seguida, uma questão de Logaritmos explora a propriedade da mudança de base em uma expressão envolvendo três logaritmos.
Na reta final, o candidato resolve uma questão de Geometria Espacial, envolvendo área total e volume de um cilindro, além de outra sobre cones, relacionando o volume do recipiente com o volume de esferas de sorvete. O simulado também contempla Números Complexos, utilizando raízes complexas de um polinômio de quarto grau, e uma questão de Análise Combinatória, envolvendo a posição de um número em uma ordenação lexicográfica de permutações.
Por fim, a prova revisa Geometria Analítica, por meio do cálculo da área de um triângulo determinado pela interseção de retas, apresenta uma questão de Cônicas, envolvendo a determinação do menor eixo de uma hipérbole, e encerra com uma questão de Função Exponencial, analisando o ponto de interseção entre dois gráficos exponenciais.
De maneira geral, trata-se de um simulado bastante completo, revisando conteúdos essenciais como Teoria dos Conjuntos, Análise Combinatória, Geometria Plana, Relações Métricas no Triângulo Retângulo, Equações do Segundo Grau, Relações de Girard, Sistemas Lineares, Módulo, Trigonometria, Logaritmos, Geometria Espacial, Cilindros, Cones, Números Complexos, Geometria Analítica, Cônicas e Funções Exponenciais. É uma excelente ferramenta para candidatos que desejam consolidar os principais tópicos cobrados na ESA por meio de questões inéditas e contextualizadas, desenvolvendo precisão, rapidez e confiança para o dia da prova.
Assuntos abordados neste simulado
- Teoria dos Conjuntos
- Princípio da Inclusão-Exclusão
- Análise Combinatória
- Permutações
- Ordenação Lexicográfica
- Geometria Plana
- Triângulo Retângulo
- Relações Métricas no Triângulo Retângulo
- Equações do Segundo Grau
- Relações de Girard
- Sistemas Lineares
- Discussão de Sistemas
- Parâmetro Real
- Módulo
- Equações Modulares
- Trigonometria
- Equações Trigonométricas
- Função Cosseno
- Logaritmos
- Mudança de Base
- Propriedades dos Logaritmos
- Geometria Espacial
- Cilindro
- Área Total do Cilindro
- Volume do Cilindro
- Cone
- Volume do Cone
- Números Complexos
- Raízes Complexas de Polinômios
- Geometria Analítica
- Área de Triângulo
- Retas
- Cônicas
- Hipérbole
- Eixos da Hipérbole
- Função Exponencial
- Interseção de Gráficos
- Equações Exponenciais
- Matemática ESA
- Simulado ESA
- Questões ESA
- Concurso ESA
- Preparação ESA
- Projeto ESA
- Questão do Cadete
Esse conjunto de assuntos faz do Simulado 9 uma excelente ferramenta para revisar os principais conteúdos exigidos na prova de Matemática da ESA, permitindo ao candidato consolidar conceitos fundamentais, praticar questões no estilo da banca e identificar eventuais dificuldades antes do exame oficial.
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