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QUESTÃO 1
Dado um cubo de aresta 8,\text{cm} e, em cada vértice, coloca-se uma esfera de diâmetro 8,\text{cm}, sendo o centro dessas esferas os vértices do cubo.
Com base nas informações, determine o volume das esferas que fica exterior ao cubo, em \text{cm}^3.
a) \dfrac{224\pi}{3}
b) \dfrac{448\pi}{3}
c) \dfrac{896\pi}{3}
d) \dfrac{1532\pi}{3}
e) \dfrac{1792\pi}{3}
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GABARITO E
Como o diâmetro de cada esfera é 8,\text{cm}, seu raio é r=\dfrac{8}{2}=4,\text{cm}.
O volume de uma esfera é dado por V=\dfrac{4}{3}\pi r^3.
Substituindo r=4 temos V=\dfrac{4}{3}\pi(4)^3=\dfrac{256\pi}{3},\text{cm}^3.
Como há uma esfera em cada um dos 8 vértices do cubo, o volume total das esferas é V_{\text{total}}=8\cdot\dfrac{256\pi}{3}=\dfrac{2048\pi}{3},\text{cm}^3.
Em cada vértice, as três faces do cubo que se encontram nesse ponto dividem a esfera em 8 partes iguais. Portanto, apenas \dfrac{1}{8} de cada esfera fica no interior do cubo.
Como existem 8 esferas, o volume total das partes que ficam dentro do cubo é V_{\text{interior}}=8\cdot\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{256\pi}{3}=\dfrac{256\pi}{3},\text{cm}^3.
Assim, o volume que fica exterior ao cubo é V_{\text{exterior}}=V_{\text{total}}-V_{\text{interior}}, ou seja, V_{\text{exterior}}=\dfrac{2048\pi}{3}-\dfrac{256\pi}{3}=\boxed{\dfrac{1792\pi}{3}},\text{cm}^3.
Portanto, a alternativa correta é a letra E.
QUESTÃO 2
Encontre a e b em função de n, de tal forma que b\cdot x^{n+1}+a\cdot x^n+1 seja divisível por x^2 e assinale a alternativa correspondente.
a) 2n\cdot x^{n-1}-(n+1)\cdot x^n+1
b) n\cdot x^n-(n+1)\cdot x^{n+1}+1
c) 2n\cdot x^{n+1}-(n+1)\cdot x^{n-1}+1
d) n\cdot x^{n+1}-(n+1)\cdot x^n+1
e) 2n\cdot x^{n+1}-(n+1)\cdot x^n+1
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Considere o polinômio P(x)=b x^{n+1}+a x^n+1.
Para que P(x) seja divisível por katex^2[/katex], o número x=1 deve ser uma raiz dupla do polinômio.
Portanto, devemos ter simultaneamente P(1)=0 e P'(1)=0.
Inicialmente, P(1)=b+a+1=0, logo, a+b=-1.
Derivando o polinômio, temos P'(x)=b(n+1)x^n+anx^{n-1}.
Como P'(1)=0,
b(n+1)+an=0.
Da primeira equação, a=-b-1.
Substituindo na segunda: b(n+1)+n(-b-1)=0.
Assim, bn+b-bn-n=0, portanto, b=n.
Consequentemente, a=-n-1=-(n+1).
Substituindo os valores de a e b no polinômio original:
P(x)=n x^{n+1}-(n+1)x^n+1.
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
QUESTÃO 3
A função f:[5,+\infty[\to[6,+\infty[, definida por f(x)=|x|+|x-4|, é uma função bijetora, e sua inversa é a função g:[6,+\infty[\to[5,+\infty[ dada por:
a) g(x)=|x|+2
b) g(x)=\dfrac{x+2}{2}
c) g(x)=\dfrac{x}{2}-2
d) g(x)=\dfrac{x}{2}+2
e) g(x)=\dfrac{x}{2}+1
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GABARITO D
Como o domínio da função é [5,+\infty[, temos x\geq 5. Portanto, |x|=x e |x-4|=x-4.
Assim, a função pode ser escrita como f(x)=x+(x-4)=2x-4.
Para determinar a função inversa, fazemos y=2x-4 e isolamos x. Dessa forma, y+4=2x, logo x=\dfrac{y+4}{2}=\dfrac{y}{2}+2.
Trocando y por x, obtemos g(x)=\dfrac{x}{2}+2.
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
QUESTÃO 4
O gráfico abaixo representa a função f(x).
Considere o intervalo em que x\in[a,e] em \mathbb{R} e as seguintes afirmações abaixo.
I. A função f(x) possui 4 raízes reais.
II. f(c)<f(e).
III. f(x) é crescente no intervalo [c,d].
Levando o gráfico em consideração, é correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) II, apenas.
c) III, apenas.
d) I e II, apenas.
e) I e III, apenas.
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GABARITO E
Analisando o gráfico, verificamos que a função intercepta o eixo x quatro vezes no intervalo considerado. Portanto, f(x) possui 4 raízes reais, e a afirmativa I é verdadeira.
Para a afirmativa II, observamos que c e e são raízes da função, pois o gráfico intercepta o eixo x nesses pontos. Assim, f(c)=f(e)=0. Portanto, a desigualdade f(c)<f(e) é falsa.
Por fim, no intervalo [c,d], à medida que x aumenta, os valores de f(x) também aumentam até atingir o máximo em x=d. Logo, a função é crescente nesse intervalo, e a afirmativa III é verdadeira.
Portanto, são verdadeiras apenas as afirmativas I e III.
Alternativa correta: E.
QUESTÃO 5
Uma indústria tem três máquinas A, B e C que produzem 40%, 50% e 10%, respectivamente, do total de peças. O percentual de peças defeituosas dessas máquinas é 3%, 5% e 2%, respectivamente. Uma peça é selecionada aleatoriamente e é defeituosa. Dessa forma, a probabilidade da peça selecionada ter sido produzida pela máquina C é igual a:
a) \dfrac{5}{39}
b) \dfrac{2}{39}
c) \dfrac{7}{39}
d) \dfrac{4}{39}
e) \dfrac{1}{39}
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GABARITO B
Seja D o evento de uma peça ser defeituosa. Queremos determinar a probabilidade de a peça ter sido produzida pela máquina C, sabendo que ela é defeituosa, ou seja, P(C|D).
Pelo Teorema de Bayes, temos P(C|D)=\dfrac{P(C)\cdot P(D|C)}{P(D)}.
A probabilidade de uma peça defeituosa ser produzida por cada máquina é dada por P(A)\cdot P(D|A)=0{,}40\cdot0{,}03=0{,}012, P(B)\cdot P(D|B)=0{,}50\cdot0{,}05=0{,}025 e P(C)\cdot P(D|C)=0{,}10\cdot0{,}02=0{,}002.
Assim, a probabilidade total de uma peça ser defeituosa é P(D)=0{,}012+0{,}025+0{,}002=0{,}039.
Portanto, P(C|D)=\dfrac{0{,}002}{0{,}039}=\dfrac{2}{39}.
Logo, a alternativa correta é a letra B.
QUESTÃO 6
Comumente necessitamos recorrer à fatoração de expressões algébricas para auxiliar a resolução de problemas matemáticos. Considere necessária a fatoração da seguinte expressão sen \, 65^\circ-sen \, 25^\circ. Nessas condições, a referida fatoração resulta em:
a) 2sen \, 20^\circ
b) sen \, 25^\circ
c) 2\cos 15^\circ
d) \sqrt{2}sen \, 20^\circ
e) \sqrt{2}\cos 15^\circ
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GABARITO D
Utilizamos a fórmula da transformação da diferença de senos em produto, dada por sen \, A-sen \, B=2\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)sen \, \left(\dfrac{A-B}{2}\right).
Aplicando A=65^\circ e B=25^\circ, temos sen \, 65^\circ-sen \, 25^\circ=2\cos\left(\dfrac{65^\circ+25^\circ}{2}\right)sen \, \left(\dfrac{65^\circ-25^\circ}{2}\right).
Assim, sen \, 65^\circ-sen \, 25^\circ=2\cos45°.sen \, 20°.
Como \cos45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos 2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}.sen \, 20^\circ=\sqrt{2}.sen \, 20^\circ.
Portanto, a fatoração resulta em \boxed{\sqrt{2}.sen \, 20^\circ}.
Logo, a alternativa correta é a letra D.
QUESTÃO 7
Na construção de um tatame circular para a prática de luta greco-romana, deseja-se marcar dois pontos sobre a circunferência que delimita esse tatame, de tal forma que esses pontos sejam soluções da equação 2\cos^2x-7\cos x+3=0, considerando o conjunto universo U={x\in\mathbb{R},/,0\leq x\leq 2\pi}. Quais as posições circulares desses pontos?
a) \left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{3}\right]
b) \left[\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{3}\right]
c) \left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right]
d) \left[\dfrac{\pi}{5},\dfrac{\pi}{2}\right]
e) \left[\dfrac{5\pi}{2},\dfrac{5\pi}{3}\right]
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GABARITO C
Considere y=\cos x. A equação fica 2y^2-7y+3=0.
Fatorando, temos (y-3)=0. Logo, y=\dfrac{1}{2} ou y=3.
Como -1\leq\cos x\leq1, a solução \cos x=3 é impossível. Portanto, devemos resolver apenas \cos x=\dfrac{1}{2}.
No intervalo 0\leq x\leq2\pi, o cosseno vale \dfrac{1}{2} nos ângulos x=\dfrac{\pi}{3} e x=\dfrac{5\pi}{3}.
Assim, as posições circulares procuradas são \left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right].
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
QUESTÃO 8
Dados os números {1,3,5,7,9}, quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar, de modo que os números 1 e 3 nunca fiquem juntos e os números 5 e 7 sempre ocupem posições lado a lado?
a) 42
b) 24
c) 18
d) 28
e) 36
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GABARITO B
Como os algarismos 5 e 7 devem ficar sempre juntos, podemos considerá-los inicialmente como um único bloco. Assim, temos os elementos {(5,7),1,3,9}, totalizando 4 elementos a serem permutados.
Esses 4 elementos podem ser organizados de 4!=24 maneiras. Além disso, dentro do bloco, os algarismos 5 e 7 podem aparecer como 57 ou 75. Portanto, inicialmente temos 2\cdot4!=48 números.
Agora devemos excluir os casos em que 1 e 3 também ficam juntos. Nesse caso, consideramos dois blocos, katex[/katex] e katex[/katex], além do algarismo 9. Temos, então, 3 elementos, que podem ser organizados de 3!=6 maneiras.
Como cada um dos dois blocos pode ter seus elementos permutados internamente, temos 2\cdot2 possibilidades. Assim, o número de casos indesejados é 3!\cdot2\cdot2=24.
Portanto, o total de números que satisfazem as condições é 48-24=24.
Logo, a alternativa correta é a letra B.
QUESTÃO 9
Os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos do desenvolvimento do binômio x^n estão em progressão aritmética. Qual é o maior valor de n?
a) 14
b) 13
c) 12
d) 11
e) 10
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GABARITO A
No desenvolvimento do binômio x^n, o termo geral é dado por T_{k+1}=\binom{n}{k}x^k. Portanto, os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos são, respectivamente, \binom{n}{4}, \binom{n}{5} e \binom{n}{6}.
Como esses três coeficientes estão em progressão aritmética, o termo central é a média aritmética dos extremos. Assim, 2\binom{n}{5}=\binom{n}{4}+\binom{n}{6}.
Utilizando as relações \binom{n}{5}=\binom{n}{4}\dfrac{n-4}{5} e \binom{n}{6}=\binom{n}{5}\dfrac{n-5}{6}, podemos dividir toda a equação por \binom{n}{5}, obtendo 2=\dfrac{5}{n-4}+\dfrac{n-5}{6}.
Multiplicando por 6(n-4), temos 12(n-4)=30+(n-5)(n-4).
Desenvolvendo, obtemos 12n-48=30+n^2-9n+20, ou seja, n^2-21n+98=0.
Fatorando, temos katex(n-14)=0[/katex]. Logo, n=7 ou n=14.
Como a questão pede o maior valor de n, temos \boxed{n=14}.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
QUESTÃO 10
Considere o sistema de equações lineares \begin{cases}x+2y-3z=4\\3x-y+5z=2\\4x+y+(a^2-14)z=a+2\end{cases}
Encontre todos os valores de a para os quais o sistema tem uma única solução.
a) a\in\mathbb{R}\mid a\neq\pm\sqrt{17}
b) a\in\mathbb{R}\mid a\neq\pm\sqrt{2}
c) a\in\mathbb{R}\mid a\neq\pm\sqrt{5}
d) a\in\mathbb{R}\mid a\neq\pm4
e) a\in\mathbb{R}\mid a\neq\pm\sqrt{3}
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GABARITO D
Para que um sistema linear de três equações e três incógnitas tenha uma única solução, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero.
A matriz dos coeficientes é A=\begin{pmatrix}1&2&-3\\3&-1&5\\4&1&a^2-14\end{pmatrix}.
Calculando o determinante pela primeira linha, temos \det(A)=1\left[(-1)(a^2-14)-5\right]-2\left[3(a^2-14)-20\right]-3\left[3+4\right].
Assim, \det(A)=(-a^2+9)-2(3a^2-62)-21, portanto \det(A)=-a^2+9-6a^2+124-21=112-7a^2.
Fatorando, obtemos \det(A)=7(16-a^2)=7(4-a)(4+a).
Para que o sistema tenha uma única solução, devemos ter \det(A)\neq0. Logo, 16-a^2\neq0, o que implica a\neq4 e a\neq-4.
Portanto, a\in\mathbb{R}\mid a\neq\pm4.
Logo, a alternativa correta é a letra D.
QUESTÃO 11
Dados os números complexos z_1=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sen\dfrac{\pi}{3}\right), z_2=5(\cos\pi+i\sen\pi) e z_3=4(\cos2\pi+i\sen2\pi), encontre a área do triângulo formado pelos seus afixos.
a) \dfrac{9}{2}
b) \dfrac{9}{4}
c) \dfrac{\sqrt{3}}{4}
d) \dfrac{9\sqrt{3}}{2}
e) \dfrac{6\sqrt{3}}{2}
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Vamos determinar os afixos dos três números complexos no plano de Argand-Gauss.
Para z_1=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sen\dfrac{\pi}{3}\right), temos \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} e \sen\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim, z_1=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+i\sqrt{3}, cujo afixo é o ponto katex[/katex].
Para z_2=5(\cos\pi+i\sen\pi), como \cos\pi=-1 e \sen\pi=0, temos z_2=-5, cujo afixo é katex[/katex].
Para z_3=4(\cos2\pi+i\sen2\pi), como \cos2\pi=1 e \sen2\pi=0, temos z_3=4, cujo afixo é katex[/katex].
Os pontos correspondentes a z_2 e z_3 estão sobre o eixo real, formando uma base de comprimento 4-(-5)=9. A altura do triângulo é a ordenada do ponto correspondente a z_1, isto é, \sqrt{3}.
Logo, a área do triângulo é A=\dfrac{b\cdot h}{2}=\dfrac{9\cdot\sqrt{3}}{2}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}.
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
QUESTÃO 12
Em um conjunto de quatro números, observa-se que os três primeiros estão em progressão geométrica e os três últimos estão em progressão aritmética, com razão 6. Sabendo que o primeiro número é igual ao quarto, a soma desses números é:
a) 13
b) 14
c) 15
d) 18
e) 24
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Considere os quatro números a,b,c,d. Como os três últimos estão em progressão aritmética de razão 6, podemos escrever c=b+6 e d=b+12.
Como o primeiro número é igual ao quarto, temos a=d=b+12.
Além disso, os três primeiros números a,b,c estão em progressão geométrica. Portanto, vale a relação b^2=ac.
Substituindo a=b+12 e c=b+6, obtemos b^2=(b+12)(b+6).
Desenvolvendo, temos b^2=b^2+18b+72, logo 18b+72=0, o que resulta em b=-4.
Assim, c=-4+6=2, d=-4+12=8 e, consequentemente, a=8.
Portanto, a soma dos quatro números é 8-4+2+8=14.
Logo, a alternativa correta é a letra B.
QUESTÃO 13
A equação da reta perpendicular à reta que contém os centros das circunferências x^2+y^2-4x-8y+19=0 e x^2+y^2+4y=0 e que passa pelo ponto simétrico ao foco da parábola de equação
(y-5)^2=-2(x+1) em relação ao eixo das ordenadas é:
a) y=-\dfrac{x}{3}+\dfrac{11}{2}
b) y=\dfrac{x}{3}+\dfrac{78}{15}
c) y=-\dfrac{x}{3}-\dfrac{78}{15}
d) y=-\dfrac{x}{3}+\dfrac{72}{15}
e) y=\dfrac{x}{3}-\dfrac{78}{15}
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GABARITO A
Inicialmente, determinamos os centros das duas circunferências. Para x^2+y^2-4x-8y+19=0, comparando com a forma geral da circunferência, obtemos o centro C_1=(2,4). Para x^2+y^2+4y=0, o centro é C_2=(0,-2).
O coeficiente angular da reta que passa por esses centros é m=\dfrac{4-(-2)}{2-0}=\dfrac{6}{2}=3. Portanto, uma reta perpendicular a ela possui coeficiente angular m_p=-\dfrac{1}{3}.
Agora, analisamos a parábola (y-5)^2=-2(x+1). Comparando com a forma x^2=4p(x-h), temos h=-1, k=5 e 4p=-2, logo p=-\dfrac{1}{2}.
Assim, o foco da parábola é F=(h+p,k)=\left(-\dfrac{3}{2},5\right). O ponto simétrico desse foco em relação ao eixo das ordenadas é F'=\left(\dfrac{3}{2},5\right).
A reta procurada possui coeficiente angular -\dfrac{1}{3} e passa pelo ponto \left(\dfrac{3}{2},5\right). Utilizando a equação ponto-inclinação, temos y-5=-\dfrac{1}{3}\left(x-\dfrac{3}{2}\right).
Desenvolvendo, obtemos y-5=-\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{2}, portanto y=-\dfrac{x}{3}+\dfrac{11}{2}.
Logo, a alternativa correta é a letra A.
QUESTÃO 14
O conjunto solução da seguinte inequação |4-x^2|\leq\dfrac{x+7}{2} é:
a) S={x\in\mathbb{R}\mid -2{,}5\leq x\leq-1\ \text{ou}\ 0{,}5\leq x\leq3}
b) S={x\in\mathbb{R}\mid -5\leq x\leq-1\ \text{ou}\ 0\leq x\leq3}
c) S={x\in\mathbb{R}\mid -2\leq x\leq-1\ \text{ou}\ 0{,}5\leq x\leq1}
d) S={x\in\mathbb{R}\mid -2\leq x\leq1\ \text{ou}\ 1{,}5\leq x\leq3}
e) S={x\in\mathbb{R}\mid -2{,}5\leq x\leq0\ \text{ou}\ 0{,}5\leq x\leq3}
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GABARITO A
Devemos resolver a inequação |4-x^2|\leq\dfrac{x+7}{2}.
Como o lado esquerdo é sempre não negativo, é necessário que \dfrac{x+7}{2}\geq0, ou seja, x\geq-7.
Usando a propriedade |A|\leq B\Longleftrightarrow -B\leq A\leq B, temos -\dfrac{x+7}{2}\leq4-x^2\leq\dfrac{x+7}{2}.
Resolvendo a primeira desigualdade, -\dfrac{x+7}{2}\leq4-x^2, obtemos -x-7\leq8-2x^2, portanto 2x^2-x-15\leq0. Fatorando, katex(x-3)\leq0[/katex], logo -\dfrac{5}{2}\leq x\leq3.
Agora, resolvendo a segunda desigualdade, 4-x^2\leq\dfrac{x+7}{2}, temos 8-2x^2\leq x+7, então 2x^2+x-1\geq0. Fatorando, katex(x+1)\geq0[/katex], o que fornece x\leq-1 ou x\geq\dfrac{1}{2}.
Fazendo a interseção com -\dfrac{5}{2}\leq x\leq3, obtemos -\dfrac{5}{2}\leq x\leq-1 ou \dfrac{1}{2}\leq x\leq3.
Portanto, S=\left[-\dfrac{5}{2},-1\right]\cup\left[\dfrac{1}{2},3\right].
Logo, a alternativa correta é a letra A.
QUESTÃO 15
Analise as afirmativas.
I. Se \ln\left|\dfrac{x}{2}\right|=3, ENTÃO, o conjunto solução desta equação é S={2e^3}.
II. Se \log(2)-\log(3)=\log(x+1) ENTÃO, o conjunto solução desta equação é S=-\dfrac{1}{3}.
III. Se \left(\dfrac{1}{8}\right)^{x+1}=(0{,}5)^{1-x} ENTÃO, o conjunto solução desta equação é S=\dfrac{1}{2}.
IV. Se \log_7 5\cdot\log_3 4\cdot\log_5 7\cdot\log_2 3=\log_2(x+3), ENTÃO, o conjunto solução desta equação é S={1}.
Assinale a alternativa CORRETA.
a) Apenas as afirmativas I, II e IV são verdadeiras.
b) Apenas as afirmativas I e IV são verdadeiras.
c) Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras.
d) Apenas as afirmativas II e IV são verdadeiras.
e) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
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GABARITO D
Na afirmativa I, temos \ln\left|\dfrac{x}{2}\right|=3. Pela definição de logaritmo, \left|\dfrac{x}{2}\right|=e^3, logo \dfrac{x}{2}=\pm e^3 e, portanto, x=\pm2e^3. Assim, o conjunto solução correto seria S={-2e^3,2e^3}. Portanto, a afirmativa I é falsa.
Na afirmativa II, temos \log2-\log3=\log(x+1). Utilizando a propriedade \log a-\log b=\log\left(\dfrac{a}{b}\right), obtemos \log\left(\dfrac{2}{3}\right)=\log(x+1). Assim, x+1=\dfrac{2}{3}, o que fornece x=-\dfrac{1}{3}. Portanto, a afirmativa II é verdadeira.
Na afirmativa III, escrevemos \dfrac{1}{8}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 e 0{,}5=\dfrac{1}{2}. Dessa forma, \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3(x+1)}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1-x}. Como as bases são iguais, temos 3x+3=1-x, logo 4x=-2 e x=-\dfrac{1}{2}. Como a afirmativa apresenta S=\{\frac{1}{2}\}, a afirmativa III é falsa.
Na afirmativa IV, temos \log_7 5\cdot\log_3 4\cdot\log_5 7\cdot\log_2 3=\log_2(x+3). Inicialmente, \log_7 5\cdot\log_5 7=1. Além disso, pela mudança de base, \log_3 4\cdot\log_2 3=\dfrac{\log_2 4}{\log_2 3}\cdot\log_2 3=\log_2 4=2. Portanto, a equação se reduz a \log_2(x+3)=2. Assim, x+3=2^2=4, de onde x=1. Logo, S={1} e a afirmativa IV é verdadeira.
Portanto, apenas as afirmativas II e IV são verdadeiras.
Logo, a alternativa correta é a letra D.
QUESTÃO 16
Sejam as matrizes A=\begin{bmatrix}3&1\\2&0\end{bmatrix} e B=\begin{bmatrix}1&0\\3&4\end{bmatrix}. Assinale a alternativa que indique corretamente o valor de A^2+2AB+B^2.
a) \begin{bmatrix}24&11\\25&18\end{bmatrix}
b) \begin{bmatrix}31&7\\2&2\end{bmatrix}
c) \begin{bmatrix}23&21\\22&0\end{bmatrix}
d) \begin{bmatrix}7&0\\9&-5\end{bmatrix}
e) \begin{bmatrix}3&11\\27&20\end{bmatrix}
Ver resolução
GABARITO A
Inicialmente, calculamos A^2. Temos A^2=\begin{bmatrix}3&1\\2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&1\\2&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}11&3\\6&2\end{bmatrix}.
Em seguida, calculamos AB. Assim, AB=\begin{bmatrix}3&1\\2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\3&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&4\\2&0\end{bmatrix}. Portanto, 2AB=\begin{bmatrix}12&8\\4&0\end{bmatrix}.
Calculando agora B^2, obtemos B^2=\begin{bmatrix}1&0\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\3&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\15&16\end{bmatrix}.
Somando as três matrizes, temos A^2+2AB+B^2=\begin{bmatrix}11&3\\6&2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}12&8\\4&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0\\15&16\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}24&11\\25&18\end{bmatrix}.
Portanto, A^2+2AB+B^2=\begin{bmatrix}24&11\\25&18\end{bmatrix}.
Logo, a alternativa correta é a letra A.
QUESTÃO 17
Seja a matriz A=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-5&0&0\\3&-2&2&0\\7&8&-3&4\end{bmatrix}. Sendo p=\det(A) e f(x)=\dfrac{x}{10}+1, assinale a alternativa que indique corretamente o valor de f(p).
a) -1
b) -2
c) -3
d) -4
e) -5
Ver resolução
GABARITO C
A matriz A é triangular inferior, pois todos os elementos acima da diagonal principal são iguais a zero. Dessa forma, seu determinante é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal.
Assim, p=\det(A)=1\cdot(-5)\cdot2\cdot4=-40.
Como f(x)=\dfrac{x}{10}+1, substituímos p=-40 e obtemos f(p)=f(-40)=\dfrac{-40}{10}+1=-4+1=-3.
Portanto, f(p)=-3.
Logo, a alternativa correta é a letra C.
QUESTÃO 18
Considere a equação do 3º grau ax^3+bx^2+cx+d=0, onde os coeficientes a, b, c e d são números reais e formam, nessa ordem, uma progressão geométrica crescente. Considere \alpha, \beta e \delta as raízes da equação. Se \alpha=2i, então a raiz dessa equação é igual a:
a) -2.
b) 2.
c) -4.
d) -8.
e) -10.
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GABARITO A
Como os coeficientes a,b,c,d formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, podemos escrever b=aq, c=aq^2 e d=aq^3, em que q é a razão da progressão.
Substituindo na equação, temos ax^3+aqx^2+aq^2x+aq^3=0. Como a\neq0, podemos dividir a equação por a, obtendo x^3+qx^2+q^2x+q^3=0.
Fatorando por agrupamento, temos x^2(x+q)+q^2(x+q)=0, portanto katex(x^2+q^2)=0[/katex].
Assim, as raízes são x=-q e x=\pm qi.
Como uma das raízes é \alpha=2i, concluímos que q=2. Dessa forma, a raiz real da equação é x=-q=-2.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
QUESTÃO 19
Na figura abaixo, têm-se quatro semicírculos, o maior deles tem centro em O e diâmetro AB=a. Sabe-se, ainda, que O, M e N, centros dos outros três semicírculos, são pontos médios de AB, AO e OB, respectivamente.
Qual a área delimitada pelo triângulo AOP destacado na figura?
a) \dfrac{a^2\sqrt{3}}{32}
b) \dfrac{a\sqrt{3}}{32}
c) \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}
d) \dfrac{a^2}{32}
e) \dfrac{a^2\sqrt{3}}{16}
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GABARITO A
Como AB=a e O é o ponto médio de AB, temos AO=\dfrac{a}{2}. Além disso, como M é o ponto médio de AO, temos MO=AM=\dfrac{a}{4}.
Os semicírculos de centros M e O possuem raio \dfrac{a}{4}. Como P pertence a ambos, temos MP=OP=\dfrac{a}{4}.
Como também MO=\dfrac{a}{4}, concluímos que MP=OP=MO. Portanto, o triângulo MOP é equilátero, com lado \dfrac{a}{4}.
A altura desse triângulo, e consequentemente a distância de P até a reta AB, é h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{a}{4}=\dfrac{a\sqrt{3}}{8}.
O triângulo AOP possui base AO=\dfrac{a}{2} e altura \dfrac{a\sqrt{3}}{8}. Assim, sua área é A=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{8}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{32}.
Portanto, a área delimitada pelo triângulo AOP é \dfrac{a^2\sqrt{3}}{32}.
Logo, a alternativa correta é a letra A.
QUESTÃO 20
Com base nas definições de operações com conjuntos, assinale a alternativa que represente uma igualdade verdadeira.
a) A\cup(A^c\cap B)=A\cup B
b) A\cup(A^c\cap B)=A\cap B
c) A\cup(A\cap B)=B
d) (A\cap U)\cap(A^c\cup\varnothing)=A
e) (A\cap B)\cup(B^c\cap A)=\varnothing
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GABARITO A
Analisando a alternativa A, temos A\cup(A^c\cap B). Aplicando a propriedade distributiva, obtemos A\cup(A^c\cap B)=(A\cup A^c)\cap(A\cup B). Como A\cup A^c=U, resulta U\cap(A\cup B)=A\cup B. Portanto, a igualdade apresentada na alternativa A é verdadeira.
Na alternativa B, pelo resultado anterior, A\cup(A^c\cap B)=A\cup B e não, em geral, A\cap B. Logo, a igualdade é falsa.
Na alternativa C, pela propriedade da absorção, A\cup(A\cap B)=A e não, em geral, B. Logo, a igualdade é falsa.
Na alternativa D, temos A\cap U=A e A^c\cup\varnothing=A^c. Assim, (A\cap U)\cap(A^c\cup\varnothing)=A\cap A^c=\varnothing. Portanto, a igualdade é falsa.
Na alternativa E, podemos colocar A em evidência, obtendo (A\cap B)\cup(B^c\cap A)=A\cap(B\cup B^c). Como B\cup B^c=U, temos A\cap U=A, e não, em geral, \varnothing. Logo, a igualdade é falsa.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
O Simulado ESPCEX foi elaborado para reproduzir o nível e o estilo das questões cobradas no concurso da Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx), reunindo questões inéditas que percorrem diferentes áreas da Matemática e exigem tanto domínio teórico quanto capacidade de relacionar conceitos. A proposta é oferecer ao candidato uma revisão ampla dos principais conteúdos do edital, desenvolvendo raciocínio, precisão e rapidez na resolução das questões.
O simulado aborda Geometria Espacial por meio de uma situação envolvendo um cubo e esferas posicionadas em seus vértices, exigindo interpretação espacial e cálculo de volumes. Em Polinômios, é explorada a condição de divisibilidade por um polinômio de segundo grau, relacionando raízes múltiplas e derivadas para determinar parâmetros desconhecidos.
O conteúdo de Funções aparece em diferentes momentos da prova. Uma das questões trabalha função inversa associada a uma expressão modular, enquanto outra utiliza a interpretação gráfica para analisar raízes, imagens e intervalos de crescimento de uma função. O tema Módulo também é retomado em uma inequação modular, exigindo a análise simultânea das condições obtidas a partir do valor absoluto.
Em Probabilidade, o candidato encontra uma aplicação do Teorema de Bayes, envolvendo máquinas com diferentes percentuais de produção e taxas de peças defeituosas. Já em Análise Combinatória, são exploradas permutações com restrições, exigindo a contagem de números formados por algarismos distintos sujeitos a condições de posicionamento.
A Trigonometria também recebe destaque. O simulado apresenta uma questão envolvendo transformação de diferença de senos em produto e outra baseada na resolução de uma equação trigonométrica e na identificação das respectivas posições no ciclo trigonométrico. Dessa forma, são revisadas tanto identidades trigonométricas quanto valores notáveis e interpretação no ciclo.
Em Binômio de Newton, a prova relaciona coeficientes de termos consecutivos do desenvolvimento binomial com uma progressão aritmética. Já em Progressões, uma questão combina propriedades de Progressão Geométrica (PG) e Progressão Aritmética (PA) para determinar os elementos de uma sequência.
O simulado também contempla Sistemas Lineares e Matrizes. Em sistemas lineares, é analisada a condição para existência de solução única a partir do determinante da matriz dos coeficientes. Nas questões de matrizes, são cobradas operações como produto e potência de matrizes, além do cálculo de determinante de uma matriz triangular e sua utilização na avaliação de uma função.
Em Números Complexos, uma das questões utiliza a forma trigonométrica para localizar afixos no plano de Argand-Gauss e determinar a área do triângulo formado por eles. O conteúdo de Equações Polinomiais também aparece em uma equação do terceiro grau cujos coeficientes estão em progressão geométrica, relacionando fatoração e propriedades das raízes complexas.
A prova ainda trabalha Geometria Analítica, envolvendo os centros de circunferências, coeficientes angulares de retas perpendiculares e o foco de uma parábola. Em Geometria Plana, uma configuração formada por semicírculos exige a identificação de um triângulo equilátero e o cálculo da área de um triângulo a partir de suas relações geométricas.
Os conteúdos de Logaritmos e Exponenciais são revisados por meio da análise de diferentes afirmativas, envolvendo propriedades operatórias dos logaritmos, mudança de base e resolução de equações exponenciais. Por fim, Teoria dos Conjuntos aparece com operações de união, interseção, complementar e conjunto universo, exigindo o reconhecimento de identidades fundamentais entre conjuntos.
De maneira geral, este Simulado ESPCEX de Matemática proporciona uma revisão abrangente de conteúdos importantes para a prova, incluindo Geometria Plana, Geometria Espacial, Trigonometria, Funções, Função Inversa, Módulo, Inequações, Polinômios, Equações Polinomiais, Probabilidade, Teorema de Bayes, Análise Combinatória, Binômio de Newton, Progressão Aritmética, Progressão Geométrica, Sistemas Lineares, Matrizes, Determinantes, Números Complexos, Geometria Analítica, Circunferências, Parábola, Logaritmos, Exponenciais e Teoria dos Conjuntos.
É um material indicado para candidatos que desejam se preparar para a prova da EsPCEx, revisar diferentes tópicos da Matemática em um único simulado e treinar com questões inéditas próximas ao perfil exigido no concurso. Além de identificar conteúdos que ainda precisam de revisão, a resolução do simulado ajuda a desenvolver estratégia de prova, controle do tempo e maior segurança para enfrentar as questões de Matemática da EsPCEx..
Assuntos abordados neste simulado
- Geometria Espacial
- Cubo
- Esfera
- Volume da Esfera
- Polinômios
- Divisibilidade de Polinômios
- Raízes Múltiplas
- Funções
- Função Inversa
- Análise de Gráficos
- Crescimento de Funções
- Raízes de uma Função
- Probabilidade
- Probabilidade Condicional
- Teorema de Bayes
- Trigonometria
- Transformações Trigonométricas
- Equações Trigonométricas
- Ciclo Trigonométrico
- Análise Combinatória
- Permutações
- Permutações com Restrições
- Binômio de Newton
- Coeficientes Binomiais
- Progressões
- Progressão Aritmética (PA)
- Progressão Geométrica (PG)
- Sistemas Lineares
- Solução Única
- Determinantes
- Parâmetro Real
- Números Complexos
- Forma Trigonométrica
- Afixos no Plano Complexo
- Geometria Analítica
- Retas
- Circunferências
- Parábola
- Coeficiente Angular
- Módulo
- Inequações Modulares
- Logaritmos
- Propriedades dos Logaritmos
- Mudança de Base
- Equações Exponenciais
- Matrizes
- Operações com Matrizes
- Produto de Matrizes
- Potência de Matrizes
- Matrizes Triangulares
- Determinantes
- Equações Polinomiais
- Equações do Terceiro Grau
- Raízes Complexas
- Geometria Plana
- Semicírculos
- Triângulo Equilátero
- Área de Triângulos
- Teoria dos Conjuntos
- União e Interseção
- Complementar de um Conjunto
- Propriedades das Operações com Conjuntos
- Matemática EsPCEx
- Simulado EsPCEx
- Questões EsPCEx
- Concurso EsPCEx
- Preparação EsPCEx
- Projeto EsPCEx
- Questão do Cadete
Esse conjunto de assuntos faz deste Simulado EsPCEx uma ferramenta completa para revisar conteúdos importantes exigidos na prova de Matemática da Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx). O candidato poderá consolidar conceitos, praticar questões inéditas no estilo da prova, identificar pontos que precisam de reforço e desenvolver maior rapidez e segurança para o exame oficial.
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