Nesta página, você encontra a resolução comentada da prova de Matemática da ESA 2027/2028 – Versão B da Escola de Sargentos das Armas, com explicações diretas, gabarito comentado e dicas de prova.
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QUESTÃO 1
A figura abaixo representa uma mesa de sinuca em forma elíptica, de focos F_1 e F_2, cuja distância focal é igual a 8. A sinuca possui uma única caçapa localizada em F_2.
Um jogador deseja jogar nessa caçapa a bola que se encontra no ponto A. Entretanto, ele não consegue fazer isso diretamente, pois existe uma bola em B, localizada entre A e F_2.
Para cumprir o objetivo, o jogador resolve fazer uma “tabela”, isto é, jogar a bola na parede da sinuca para que ela seja refletida em direção a F_2.
Considerando que o sistema cartesiano possui origem no centro da elipse e que o ponto A possui coordenadas katex[/katex], determine qual das equações abaixo representa a direção que o jogador deve dar à bola.
(A) 3x-y+12=0
(B) x+2y+6=0
(C) x+y+4=0
(D) 3x-2y+2=0
(E) 2x+y+8=0
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GABARITO C
A propriedade refletora da elipse afirma que um segmento que parte de um foco e atinge a borda da elipse é refletido na direção do outro foco.
Logo, a trajetória inicial da bola deve estar alinhada com o foco F_1.
Como a distância entre os focos é 2c=8, onde temos c=4.
Assim, F_1=(-4,0)\quad\text{e}\quad F_2=(4,0).
A reta procurada passa pelos pontos A=(-2,-2)\quad\text{e}\quad F_1=(-4,0).
Seu coeficiente angular é m=\frac{-2-0}{-2-(-4)}=\frac{-2}{2}=-1.
Pela equação da reta, y-(-2)=-1\left(x-(-2)\right).
Logo, y+2=-x-2. onde reorganizando, x+y+4=0.
Portanto, a direção correta é dada por
\boxed{x+y+4=0}.
QUESTÃO 2
A administração de um pequeno shopping fez um estudo com o objetivo de melhorar a frequência. Um dos engenheiros responsáveis por esse estudo observou que a frequência registrada nessa situação pode ser expressa pela função f(x)=700+\left|225-15x\right|, sendo 1\leq x\leq 30, em que x representa o dia do mês e f(x), a quantidade de pessoas que frequentam esse pequeno shopping nesse dia. Considere o mesmo horário de funcionamento para todos os dias do mês.
Com base no enunciado, avalie as afirmações abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F).
I. O dia mais frequentado nesse shopping é o 30° dia.
II. O dia menos frequentado nesse shopping é o 15° dia.
III. No 15° dia, a quantidade de pessoas que frequentou esse shopping é zero.
IV. No dia 30, a quantidade de pessoas que frequentou esse shopping foi de 225.
V. No dia 25, a quantidade de pessoas que frequentou esse shopping foi de 850.
Marque a alternativa que representa a sequência correta em relação às afirmações acima.
(A) F — F — V — V — F
(B) V — F — F — V — F
(C) F — F — V — V — V
(D) V — V — F — F — V
(E) V — V — F — F — F
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GABARITO D
A função apresentada é f(x)=700+\left|225-15x\right|.
Como se trata de uma função modular, seu menor valor ocorre quando a expressão dentro do módulo é igual a zero: 225-15x=0.
Logo, 15x=225 e, portanto, x=15.
Nesse dia, a frequência é
f(15)=700+\left|225-15\cdot15\right|
f(15)=700+|0|=700.
Assim, o 15° dia é o dia de menor frequência, mas a quantidade de pessoas não é zero.
Para determinar o maior valor da função no intervalo 1\leq x\leq30, analisamos os extremos do intervalo.
Para x=1:
f(1)=700+\left|225-15\right|
f(1)=700+210=910.
Para x=30:
f(30)=700+\left|225-450\right|
f(30)=700+225=925.
Portanto, a maior frequência ocorre no 30∘ dia.
Por fim, no 25° dia, temos:
f(25)=700+\left|225-15\cdot25\right|
f(25)=700+\left|225-375\right|
f(25)=700+150=850.
Analisando as afirmações:
I. Verdadeira, pois f(30)=925 é o maior valor no intervalo.
II. Verdadeira, pois o menor valor ocorre quando x=15.
III. Falsa, pois f(15)=700, e não zero.
IV. Falsa, pois f(30)=925, e não 225.
V. Verdadeira, pois f(25)=850.
A sequência correta é \boxed{\text{V — V — F — F — V}}.
QUESTÃO 3
Se \log_{\sqrt[108]{\frac{1}{3}}}\sqrt[4]{3}, \log_{\sqrt[18]{3}}\sqrt{3} e \log\left(\sqrt{10}\right)^{-6} formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, qual é o valor aproximado da soma dos 8 primeiros termos?
(A) 20{,}25
(B) 25{,}25
(C) -25{,}25
(D) -23{,}25
(E) -20{,}25
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GABARITO E
Calculando o primeiro termo, temos:
\sqrt[108]{\frac{1}{3}}=\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{108}}=3^{-\frac{1}{108}} e \sqrt[4]{3}=3^{\frac14}.
Logo, a_1=\log_{3^{-\frac{1}{108}}}3^{\frac14}=\frac{\frac14}{-\frac{1}{108}}=-27.
Para o segundo termo: \sqrt[18]{3}=3^{\frac{1}{18}} e \sqrt{3}=3^{\frac12}.
Assim, a_2=\log_{3^{\frac{1}{18}}}3^{\frac12}=\frac{\frac12}{\frac{1}{18}}=9.
Para o terceiro termo, considerando que \log representa o logaritmo decimal: a_3=\log\left(\sqrt{10}\right)^{-6}.
Como \left(\sqrt{10}\right)^{-6}=\left(10^{\frac12}\right)^{-6}=10^{-3}, segue que a_3=\log 10^{-3}=-3.
Portanto, os três primeiros termos são -27,\ 9,\ -3.
A razão da progressão geométrica é q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{-27}=-\frac13.
A soma dos 8 primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por S_8=a_1\cdot\frac{1-q^8}{1-q}.
Substituindo os valores: S_8=-27\cdot\frac{1-\left(-\frac13\right)^8}{1-\left(-\frac13\right)}.
Como \left(-\frac13\right)^8=\frac{1}{6561} e 1+\frac13=\frac43, temos S_8=-27\cdot\frac{1-\frac{1}{6561}}{\frac43}.
Assim, S_8=-27\cdot\frac{\frac{6560}{6561}}{\frac43}=-\frac{1640}{81}.
Numericamente, S_8\approx-20{,}2469.
Portanto, \boxed{S_8\approx-20{,}25}.
QUESTÃO 4
Um cilindro, cujo raio da base mede 20\text{ cm}, possui água em seu interior até a altura de 10\text{ cm}. Três esferas metálicas, E_1, E_2 e E_3, nessa ordem, possuem raios cujas medidas formam uma progressão geométrica.
O raio da esfera E_1 mede 3\text{ cm}. Quando essas esferas são colocadas no interior do cilindro, o nível da água sobe 6{,}57\text{ cm}.
Assim, pode-se afirmar que o volume da esfera E_2 é igual a:
(A) 72\pi\text{ cm}^3
(B) 180\pi\text{ cm}^3
(C) 240\pi\text{ cm}^3
(D) 288\pi\text{ cm}^3
(E) 36\pi\text{ cm}^3
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GABARITO D
Ao serem totalmente mergulhadas, as três esferas deslocam um volume de água igual à soma de seus volumes.
O volume deslocado corresponde ao volume de um cilindro de raio 20\text{ cm} e altura 6{,}57\text{ cm}.
Assim, V_{\text{deslocado}}=\pi r^2h.
Substituindo: V_{\text{deslocado}}=\pi\cdot20^2\cdot6{,}57.
Logo, V_{\text{deslocado}}=400\pi\cdot6{,}57=2628\pi\text{ cm}^3.
Como os raios das esferas formam uma progressão geométrica, podemos representá-los por r_1=3,\qquad r_2=3q,\qquad r_3=3q^2, em que q é a razão da progressão.
A soma dos volumes das três esferas é \frac{4\pi}{3}\left(r_1^3+r_2^3+r_3^3\right)=2628\pi.
Substituindo os raios: \frac{4\pi}{3}\left(3^3+(3q)^3+(3q^2)^3\right)=2628\pi.
Portanto, \frac{4\pi}{3}\left(27+27q^3+27q^6\right)=2628\pi.
Colocando 27 em evidência: 36\pi\left(1+q^3+q^6\right)=2628\pi.
Dividindo ambos os membros por 36\pi: 1+q^3+q^6=73.
Fazendo u=q^3, obtemos u^2+u+1=73, ou seja, u^2+u-72=0.
Fatorando: (u+9)(u-8)=0.
Como os raios são positivos, devemos ter u=8.
Logo, q^3=8 e, portanto, q=2.
O raio da esfera E_2 é r_2=3q=3\cdot2=6\text{ cm}.
Assim, seu volume é V_{E_2}=\frac{4\pi}{3}\cdot6^3.
Portanto, V_{E_2}=\frac{4\pi}{3}\cdot216=288\pi\text{ cm}^3.
Logo, \boxed{V_{E_2}=288\pi\text{ cm}^3}.
Adendo
Do ponto de vista físico, a resolução considera implicitamente que as três esferas ficam totalmente submersas. Entretanto, o enunciado apenas afirma que elas são colocadas no interior do cilindro, sem garantir a submersão completa.
Caso alguma esfera fique parcialmente fora da água, o volume deslocado não será igual ao volume total dessa esfera, mas somente ao volume de sua parte submersa. Desse modo, a igualdade
\frac{4\pi}{3}\left(r_1^3+r_2^3+r_3^3\right)=400\pi\cdot6{,}57
não estaria necessariamente assegurada.
Além disso, após a elevação do nível, a altura da água passa a ser 10+6{,}57=16{,}57\text{ cm}.
A esfera E_3, conforme a solução pretendida, possui raio
r_3=3\cdot2^2=12\text{ cm}, e, portanto, diâmetro 2r_3=24\text{ cm}.
Como 24>16{,}57, essa esfera não poderia ficar totalmente submersa caso estivesse apoiada no fundo do cilindro. Portanto, a hipótese utilizada na resolução é fisicamente incompatível com os dados fornecidos.
Assim, por não especificar a condição de submersão das esferas e por conduzir a uma esfera cujo diâmetro é superior à altura final da água, a questão apresenta inconsistência física e pode ser considerada passível de anulação.
QUESTÃO 5
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GABARITO B
A equação é
12x^2-63y^2-5040=0.Dividindo por 5040, temos
Logo,
a^2=420 \quad\text{e}\quad b^2=80.Como se trata de uma hipérbole, vale
c^2=a^2+b^2.Assim,
c^2=420+80=500.Portanto,
c=\sqrt{500}=10\sqrt5.A distância de cada foco ao centro é
F_1O=10\sqrt5.Como \overline{DE} mede o quádruplo de \overline{F_1O}, então
A distância focal é
F_1F_2=2c=20\sqrt5.Como \overline{DE} é perpendicular a \overline{F_1F_2}, a área do quadrilátero pode ser calculada por
Logo,
A=\frac{20\sqrt5\cdot 40\sqrt5}{2}.Então,
A=\frac{800\cdot 5}{2}=2000.Portanto, a área do quadrilátero é 2000
QUESTÃO 6
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GABARITO D
Inicialmente, fatoramos o polinômio.
Colocando 3 em evidência,
P(x)=3\left(x^4-x^3+23x^2-25x-50\right)
Pelo teste das raízes racionais, verifica-se que x=2 é raiz. Dividindo o polinômio por x-2, obtemos
x^4-x^3+23x^2-25x-50=(x-2)(x+1)(x^2+25)
Logo, as raízes são
x_1=2,\qquad x_2=-1,\qquad x_3=5i,\qquad x_4=-5i
Afirmativa I
Os argumentos principais dessas raízes são:
0,\quad \pi,\quad \dfrac{\pi}{2},\quad -\dfrac{\pi}{2}
Ordenando-os,
-\dfrac{\pi}{2},\ 0,\ \dfrac{\pi}{2},\ \pi
observa-se que eles formam uma progressão aritmética de razão \dfrac{\pi}{2}.
Portanto, a afirmativa I é verdadeira.
Afirmativa II
Os afixos das raízes correspondem aos pontos
[katex]\ (-1,0),\ (0,5)\ \text{e}\ (0,-5)[/katex]
Esses pontos formam um losango cujas diagonais medem
10\quad\text{e}\quad3
Assim, sua área é A=\dfrac{10\cdot3}{2}=15
Entretanto, a afirmativa diz que esse número é divisor de 5.
Como 15\nmid5
ou seja, 15 não é divisor de 5, a afirmativa é falsa.
Afirmativa III
Pelas relações de Girard, a soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas é \dfrac{69}{3}=23
Como 23 é um número primo, a afirmativa III é verdadeira.
Assim, apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
QUESTÃO 7
Uma empresa de táxi aéreo disponibiliza para seus clientes três tipos de
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GABARITO B
Primeiro, calculamos o total de horas voadas por cada aeronave.
Para o Caravan:
6\cdot 1,5+14\cdot 2+5\cdot 3=9+28+15=52
Logo, o Caravan voou 52 horas.
Para o Phenom:
12\cdot 1,5+4\cdot 2+2\cdot 3=18+8+6=32
Logo, o Phenom voou 32 horas.
Para o Eurocopter:
1\cdot 1,5+8\cdot 2+18\cdot 3=1,5+16+54=71,5
Logo, o Eurocopter voou 71,5 horas.
Agora, consultamos a tabela de manutenção.
O Caravan voou 52 horas, então está na faixa entre 40 e 60 horas. Seu custo é:
4
O Phenom voou 32 horas, então está abaixo de 40 horas. Seu custo é:
3
O Eurocopter voou 71,5 horas, então está acima de 60 horas. Seu custo é:
4
Portanto, o gasto total é:
x=4+3+4=11
Assim:
9\le x<13
QUESTÃO 8
Para entrar em uma sala, exige-se o reconhecimento em um dispositivo
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GABARITO A
O dispositivo permite três formas de acesso:
- biometria facial;
- impressão digital;
- código digitado.
As duas primeiras correspondem a duas possibilidades fixas.
Assim, contribuem com
2
Agora, vamos contar os códigos.
Bloco de letras
O código deve possuir três letras distintas e a ordem não importa.
Logo, devemos escolher três letras dentre as 26 disponíveis.
Isso corresponde a
C_{26,3}
Bloco numérico
O bloco deve ser um par ordenado de algarismos distintos.
Como existem 10 algarismos, utilizamos um arranjo:
A_{10,2}
Símbolo
Observando o teclado, existem 21 símbolos possíveis.
C_{21,1}
Total de códigos
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos também que permutar os 3 blocos
\P_{3}\cdot C_{26,3}\cdot A_{10,2}\cdot A_{21,1}
Total de possibilidades de acesso
Somando as duas formas biométricas ao número de códigos possíveis, obtemos
2+\P_{3}\cdot C_{26,3}\cdot A_{10,2}\cdot A_{21,1}
QUESTÃO 9
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GABARITO A
QUESTÃO 10
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GABARITO D
O raciocínio é:
- A população está sendo observada durante um processo de decréscimo, então o gráfico deve ser decrescente. Isso elimina b e c.
- A amplitude da variação é de 70 000 indivíduos. Como o eixo está em milhares, a diferença entre os valores de estabilização deve ser 70.
- A estabilização ocorre a partir de 10 anos, e na curva logística esse instante corresponde ao ponto de inflexão, localizado em t_0=10.
Comparando as opções restantes:
a) possui assíntotas em 35 e -35. A amplitude é 35-(-35)=70, porém o modelo passa a admitir populações negativas, o que não faz sentido para uma população.
d) decresce de aproximadamente 70 mil para 0, mantendo a população sempre não negativa, com ponto de inflexão em t=10 e amplitude 70-0=70.
Assim, o gráfico que melhor representa a situação descrita é a alternativa d).
QUESTÃO 11
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GABARITO B
Em Q_1, comparam-se as áreas dos círculos. Na figura de cima, há 8 círculos de raio R. Na figura de baixo, há 2 círculos de raio 2R. Assim,
Agora, em Q_2, comparam-se as regiões do triângulo equilátero que ficam fora dos círculos.
Seja A a área do círculo inscrito maior e T a área do triângulo equilátero. Na figura de cima, a área cinza é
Na figura de baixo, os três círculos menores têm raio igual a \frac13 do raio do círculo maior. Logo, cada um tem área igual a \frac19 da área do círculo maior. Portanto, juntos, têm área
Assim,
Q_2=\frac{T-A}{T-\frac{A}{3}}.Como T-A<T-\frac{A}{3}, temos
Portanto,
Q_2<Q_1.Em Q_3, seja H a área do hexágono regular e B a área do círculo inscrito maior.
Na figura de cima, a área cinza é
H-B.Na figura de baixo, aparecem 6 círculos menores. Cada círculo menor tem raio igual a \frac13 do raio do círculo maior, então cada um possui área igual a \frac{B}{9}.
Logo, a soma das áreas dos seis círculos menores é
6\cdot\frac{B}{9}=\frac{2B}{3}.Assim,
Q_3=\frac{H-B}{H-\frac{2B}{3}}.Como
H-B < H-\frac{2B}{3},temos
Q_3<1.Comparando com os resultados anteriores,
Q_1=1 \quad\text{e}\quad Q_2<1.Além disso, a redução proporcional no caso do hexágono é maior que no caso do triângulo, então
Q_3<Q_2<Q_1.Portanto, a resposta é Q_3<Q_2<Q_1.
QUESTÃO 12
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GABARITO A
Como cada caixa do calibre .38 possui 165 cápsulas e cada caixa de 9\ \text{mm} possui 231 cápsulas, o total de tiros disponíveis será
165x+231y
Como são necessários ao menos 3003 tiros, temos:
165x+231y\ge3003
Dividindo todos os termos por 33:
5x+7y\ge91
ou seja,
5x+7y-91\ge0
Agora analisamos o custo.
Cada caixa do calibre .38 custa \text{R$}\ 660,00 e cada caixa de 9\ \text{mm} custa \text{R$}\ 4.840,00. Assim, o gasto total é
660x+4840y
Como esse gasto não pode ultrapassar \text{R$}\ 26.000,00, temos:
660x+4840y\le26000
Dividindo todos os termos por 20:
33x+242y\le1300
ou seja,
33x+242y-1300\le0
Portanto, o sistema que representa as condições do problema é:
\begin{cases}33x+242y-1300\le0\\5x+7y-91\ge0\end{cases}
QUESTÃO 13
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GABARITO C
Pelo gráfico, o valor máximo da função é 5 e o valor mínimo é 1.
Logo, a reta média é
m=\dfrac{5+1}{2}=3
e a amplitude é
t=\dfrac{5-1}{2}=2
Assim,
f(x)=3+2\operatorname{sen}(p+qx)
Observando o gráfico, um período completo vai de
x=-\dfrac94
até
x=\dfrac{15}{4}
Portanto, o período é
T=\dfrac{15}{4}-\left(-\dfrac94\right)=\dfrac{24}{4}=6
Como
T=\dfrac{2\pi}{|q|}
temos
6=\dfrac{2\pi}{|q|}
|q|=\dfrac{\pi}{3}
Como o gráfico está crescendo ao passar pela reta média em x=0, podemos tomar
q=\dfrac{\pi}{3}
O máximo ocorre em x=\dfrac94. Nesse ponto,
\operatorname{sen}(p+qx)=1
Logo,
p+q\cdot\dfrac94=\dfrac{\pi}{2}
Substituindo q=\dfrac{\pi}{3}:
p+\dfrac{\pi}{3}\cdot\dfrac94=\dfrac{\pi}{2}
p+\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}
p=-\dfrac{\pi}{4}
Agora queremos calcular:
f(m)-m
Como m=3, temos:
f(m)-m=f(3)-3
f(3)-3=2\operatorname{sen}\left(-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}\cdot3\right)
f(3)-3=2\operatorname{sen}\left(-\dfrac{\pi}{4}+\pi\right)
f(3)-3=2\operatorname{sen}\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)
f(3)-3=2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}
f(3)-3=\sqrt2
Como
1<\sqrt2<\dfrac32
então
f(m)-m\in\left[1,\dfrac32\right[
QUESTÃO 14
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ANULADA
Esta foi mais uma resolução comentada da prova da ESA 2027/2028. Estudar cada questão após a aplicação do exame é uma excelente oportunidade para entender o nível de exigência da banca, identificar os conteúdos mais recorrentes e aperfeiçoar a forma de resolver problemas matemáticos com rapidez e segurança.
Neste gabarito comentado, cada resolução foi apresentada de maneira detalhada, destacando o raciocínio utilizado e os principais conceitos envolvidos. Além de conferir o resultado correto, o candidato consegue compreender o caminho mais eficiente para chegar à resposta, tornando o estudo muito mais produtivo.
Continue acompanhando o Questão do Cadete para acessar todas as resoluções da prova da ESA 2027, além de provas anteriores comentadas, simulados inéditos e centenas de questões resolvidas voltadas aos concursos militares. Aqui você encontra um material completo para fortalecer sua preparação e aumentar suas chances de aprovação na Escola de Sargentos das Armas.
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