Nesta página, você encontra a resolução comentada da prova de Matemática da AFA 2027 – Versão A da Academia da Força Aérea, com explicações diretas, gabarito comentado e dicas de prova.
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QUESTÃO 17
O gráfico da função real f:A\to\mathbb{R}, com A\subset\mathbb{R}, definida por várias sentenças, está desenhado no plano cartesiano abaixo.
As retas x=-a e x=6a são assíntotas à direita do traçado da função em cada intervalo definido.
Analise as afirmativas abaixo.
I. A=]-5b,6a[-{-a}
II. 3k\in A tal que y=3k.
III. O valor máximo de f é 3k.
IV. O conjunto imagem de f é
\operatorname{Im}(f)=[-k,3k[
V. Se x\in]-5b,-2b], então f é crescente.
VI. As assíntotas de f^{-1}, inversa de f, serão y=-a e y=6a.
É correto afirmar que:
a) todas as afirmativas são falsas.
b) apenas uma afirmativa é verdadeira.
c) todas as afirmativas são verdadeiras.
d) apenas duas afirmativas são verdadeiras.
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GABARITO B
Afirmativa I
Para x=-a temos y e assim -a faz parte do domínio
Portanto, a afirmativa I é falsa.
Afirmativa II
Observando o gráfico, percebe-se que o ramo situado à direita assume o valor
y=3k
antes de tender ao infinito quando x\to6a^{-}.
Assim, existe pelo menos um elemento do domínio cuja imagem é 3k.
Logo, a afirmativa II é verdadeira.
Afirmativa III
Embora a função assuma o valor 3k, esse não é seu valor máximo.
No último ramo do gráfico, quando
x\to6a^{-}
temos
f(x)\to+\infty
Portanto, a função não possui valor máximo.
Logo, a afirmativa III é falsa.
Afirmativa IV
Como o último ramo cresce sem limite superior, a imagem da função não é
[-k,3k[
Existem valores de f(x) maiores que 3k.
Assim, a afirmativa IV é falsa.
Afirmativa V
No intervalo
]-5b,-2b]
a função não é crescente em todo o percurso.
Inicialmente ela cresce, depois decresce até atingir um mínimo e, por fim, volta a crescer.
Logo, não é monotonicamente crescente nesse intervalo.
Assim, a afirmativa V é falsa.
Afirmativa VI
Para que exista a função inversa f^{-1}, é necessário que f seja injetora.
Entretanto, pelo gráfico, uma mesma reta horizontal intercepta o gráfico em mais de um ponto, mostrando que f não é injetora.
Logo, a função inversa não existe no domínio considerado.
Assim, não faz sentido afirmar quais seriam suas assíntotas.
Portanto, a afirmativa VI é falsa.
QUESTÃO 18
Sejam as funções reais f e g definidas, respectivamente, por
f(x)=\log_{|x-3|}|2x-5| e g(x)=-3x^2-6x+24
Considere que S\subset\mathbb{R} seja o conjunto solução do sistema
\begin{cases}f(x)>0\\g(x)\le0\end{cases}
Se o conjunto A=C_{\mathbb{R}}^{S} é o conjunto complementar de S em relação a \mathbb{R}, então A é igual a:
a) ]-\infty,3[\cup]4,+\infty[
b) ]-2,3[-\left\lbrace2,\dfrac52\right\rbrace
c) ]-3,4[-\left\lbrace-2,2\right\rbrace
d) ]-4,2]\cup]3,4]\cup\left\lbrace\dfrac52\right\rbrace
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GABARITO D
Inicialmente, determinamos o domínio da função logarítmica.
O logaritmando deve ser positivo:
|2x-5|>0
Logo,
x\neq\dfrac52
Além disso, a base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1. Assim,
|x-3|>0\quad\text{e}\quad |x-3|\neq1
o que implica
x\neq3,\qquad x\neq2,\qquad x\neq4
Agora analisamos a desigualdade
\log_{|x-3|}|2x-5|>0
Como o comportamento do logaritmo depende da base, dividimos em dois casos.
Caso 1: |x-3|>1.
Nesse caso, a base é maior que 1 e a função logarítmica é crescente. Assim,
|2x-5|>1
ou seja,
x<2\quad\text{ou}\quad x>3
Como também devemos ter |x-3|>1, isto é,
x<2\quad\text{ou}\quad x>4
obtemos
x<2\quad\text{ou}\quad x>4
Caso 2: 0<|x-3|<1.
Agora a base pertence ao intervalo [katex][/katex], e o logaritmo é decrescente. Portanto,
0<|2x-5|<1
Da desigualdade
-1<2x-5<1
segue que
2<x<3
Como 0<|x-3|<1 equivale a
2<x<4,\quad x\neq3
a interseção fornece
2<x<3
Assim,
f(x)>0\Longleftrightarrow x<2\quad\text{ou}\quad 2<x<3\quad\text{ou}\quad x>4
Agora resolvemos a outra desigualdade:
-3x^2-6x+24\le0
Dividindo ambos os membros por -3, invertendo o sentido da desigualdade:
x^2+2x-8\ge0
Fatorando, </a>(x+4)(x-2)\ge0
Logo, x\le-4\quad\text{ou}\quad x\ge2
Fazendo a interseção das duas condições:
S=\left(]-\infty,2[\cup]2,3[\cup]4,+\infty[\right)\cap\left(]-\infty,-4]\cup[2,+\infty[\right)
obtemos S=]-\infty,-4]\cup]2,3[\cup]4,+\infty[
Portanto, o complementar de S em relação a \mathbb{R} é A=]-4,2]\cup[3,4]
Como x=\dfrac52 não pertence ao domínio da função, ele também pertence ao complementar.
Assim,
A=]-4,2]\cup]3,4]\cup\left\lbrace\dfrac52\right\rbrace
QUESTÃO 19
Seja g:M\to\mathbb{R}, com M\subset\mathbb{R}, a função real g definida por
g(x)=\sqrt{\dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x-\dfrac12}}+\sqrt{\dfrac{1-\cos x}{\operatorname{sen}x}}
Assinale a opção em que o intervalo apresentado está contido em M.
a) \left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4}\right]
b) \left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right]-\left\lbrace\dfrac{\pi}{3}\right\rbrace
c) \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[
d) \left]\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}\right[
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GABARITO A
Para a função estar definida, os radicandos devem ser maiores ou iguais a zero e os denominadores devem ser diferentes de zero.
Primeiro:
\dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x-\dfrac12}\ge0
com
\cos x-\dfrac12\neq0
No intervalo \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[, temos \operatorname{sen}x>0. Portanto, para a fração ser positiva, devemos ter:
\cos x-\dfrac12>0
\cos x>\dfrac12
Isso ocorre quando:
0<x<\dfrac{\pi}{3}
Agora, analisando o segundo radical:
\dfrac{1-\cos x}{\operatorname{sen}x}\ge0
No intervalo \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[, temos \operatorname{sen}x>0 e 1-\cos x>0, então essa condição é satisfeita.
Assim, dentro do primeiro quadrante, a função está definida para:
0<x<\dfrac{\pi}{3}
Entre as alternativas, o intervalo totalmente contido nesse conjunto é:
\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4}\right]
pois
\dfrac{\pi}{6}<\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\pi}{3}
QUESTÃO 20
Uma caixa rígida e vazia, com formato de paralelepípedo reto-retângulo, com um corte retangular em sua base superior, conforme o desenho abaixo, foi idealizada como depósito de objetos geométricos.
Assinale a alternativa cujo sólido descrito pode ser colocado totalmente dentro dessa caixa.
a) Uma esfera de área igual a 1024\pi\ \text{cm}^2
b) Um cone equilátero de geratriz igual a 18\sqrt3\ \text{cm}
c) Um octaedro regular de altura 20\sqrt2\ \text{cm} e apótema lateral igual a 20\sqrt3\ \text{cm}
d) Um prisma quadrangular regular de diagonal 11\sqrt{11}\ \text{cm} e aresta da base 11\ \text{cm}
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GABARITO D
Pelo desenho, a caixa possui dimensões internas:
50\ \text{cm}\times 20\ \text{cm}\times 33\ \text{cm}
Na parte superior há um corte retangular. Como sobram 17\ \text{cm} de cada lado, o comprimento da abertura é:
50-17-17=16\ \text{cm}
Como sobram 2\ \text{cm} de cada lado, a largura da abertura é:
20-2-2=16\ \text{cm}
Portanto, a abertura superior mede:
16\ \text{cm}\times 16\ \text{cm}
Agora analisamos as alternativas.
Na alternativa a, a esfera tem área:
4\pi r^2=1024\pi
Logo:
r^2=256
r=16
Assim, o diâmetro da esfera é:
d=32\ \text{cm}
Como a abertura da caixa tem apenas 16\ \text{cm} de largura, essa esfera não entra pela abertura.
Na alternativa b, o cone equilátero possui geratriz g=18\sqrt3. Em um cone equilátero, a secção meridiana é um triângulo equilátero, então:
g=2r
Logo: r=9\sqrt3
O diâmetro da base é: 2r=18\sqrt3
Como 18\sqrt3>16, o cone não passa pela abertura.
Na alternativa c, o octaedro regular tem altura 20\sqrt2. Para um octaedro regular, a altura corresponde à diagonal maior do sólido, isto é:
h=a\sqrt2
Então:
a\sqrt2=20\sqrt2
a=20
A largura mínima associada ao octaedro já envolve aresta 20\ \text{cm}, maior que a abertura de 16\ \text{cm}. Portanto, ele não passa pela abertura.
Na alternativa d, temos um prisma quadrangular regular, isto é, um prisma de base quadrada.
A aresta da base mede 11\ \text{cm}, então a diagonal da base é:
d_b=11\sqrt2
A diagonal espacial do prisma é:
D^2=d_b^2+h^2
Substituindo D=11\sqrt{11}:
katex display=true^2=(11\sqrt2)^2+h^2[/katex]
121\cdot11=121\cdot2+h^2
1331=242+h^2
h^2=1089
h=33
Logo, o prisma tem dimensões:
11\ \text{cm}\times 11\ \text{cm}\times 33\ \text{cm}
Como sua base 11\ \text{cm}\times 11\ \text{cm} passa pela abertura 16\ \text{cm}\times 16\ \text{cm}, e sua altura é igual à altura interna da caixa, ele pode ser colocado totalmente dentro dela.
QUESTÃO 21
No plano cartesiano, a equação \lambda dada por 12x^2-63y^2-5040=0 representa uma curva com focos nos pontos F_1 e F_2 e centro O.
Sejam D e E dois pontos simétricos em relação a O de tal forma que as retas \overline{DE} e \overline{F_1F_2} sejam perpendiculares.
Se o segmento \overline{DE} tem medida igual ao quádruplo da medida de \overline{F_1O}, então a área do quadrilátero F_1DF_2E, em unidade de área, é igual a
a) 2500
b) 2000
c) 1000
d) 500
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GABARITO B
A equação é
12x^2-63y^2-5040=0.Dividindo por 5040, temos
Logo,
a^2=420 \quad\text{e}\quad b^2=80.Como se trata de uma hipérbole, vale
c^2=a^2+b^2.Assim,
c^2=420+80=500.Portanto,
c=\sqrt{500}=10\sqrt5.A distância de cada foco ao centro é
F_1O=10\sqrt5.Como \overline{DE} mede o quádruplo de \overline{F_1O}, então
A distância focal é
F_1F_2=2c=20\sqrt5.Como \overline{DE} é perpendicular a \overline{F_1F_2}, a área do quadrilátero pode ser calculada por
Logo,
A=\frac{20\sqrt5\cdot 40\sqrt5}{2}.Então,
A=\frac{800\cdot 5}{2}=2000.Portanto, a área do quadrilátero é 2000
QUESTÃO 22
Considere a representação das raízes x_1,x_2,x_3 e x_4, no plano de Argand-Gauss, do polinômio P(x) dado por
P(x)=3x^4-3x^3+69x^2-75x-150
Analise as afirmativas a seguir.
I. Considerando os argumentos principais de x_1,x_2,x_3 e x_4, é possível que, em alguma ordem, formem uma progressão aritmética.
II. Considerando os afixos de x_1,x_2,x_3 e x_4, há um polígono cujo número que representa sua área, em unidades de área, é divisor de 5.
III. Considerando o número que representa o valor da soma dos produtos de duas a duas das raízes de P(x), esse é um número primo.
É correto afirmar que:
a) nenhuma afirmativa é verdadeira.
b) todas as afirmativas são verdadeiras.
c) apenas uma afirmativa é verdadeira.
d) apenas duas afirmativas são verdadeiras.
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GABARITO D
Inicialmente, fatoramos o polinômio.
Colocando 3 em evidência,
P(x)=3\left(x^4-x^3+23x^2-25x-50\right)
Pelo teste das raízes racionais, verifica-se que x=2 é raiz. Dividindo o polinômio por x-2, obtemos
x^4-x^3+23x^2-25x-50=(x-2)(x+1)(x^2+25)
Logo, as raízes são
x_1=2,\qquad x_2=-1,\qquad x_3=5i,\qquad x_4=-5i
Afirmativa I
Os argumentos principais dessas raízes são:
0,\quad \pi,\quad \dfrac{\pi}{2},\quad -\dfrac{\pi}{2}
Ordenando-os,
-\dfrac{\pi}{2},\ 0,\ \dfrac{\pi}{2},\ \pi
observa-se que eles formam uma progressão aritmética de razão \dfrac{\pi}{2}.
Portanto, a afirmativa I é verdadeira.
Afirmativa II
Os afixos das raízes correspondem aos pontos
[katex]\ (-1,0),\ (0,5)\ \text{e}\ (0,-5)[/katex]
Esses pontos formam um losango cujas diagonais medem
10\quad\text{e}\quad3
Assim, sua área é A=\dfrac{10\cdot3}{2}=15
Entretanto, a afirmativa diz que esse número é divisor de 5.
Como 15\nmid5
ou seja, 15 não é divisor de 5, a afirmativa é falsa.
Afirmativa III
Pelas relações de Girard, a soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas é \dfrac{69}{3}=23
Como 23 é um número primo, a afirmativa III é verdadeira.
Assim, apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
QUESTÃO 23
Uma empresa de táxi aéreo disponibiliza para seus clientes três tipos de aeronaves: Caravan, Phenom e Eurocopter.
Ao fim do mês, para analisar financeiramente os custos com as aeronaves, a empresa criou tabelas para análise com os dados do mês de junho.
A primeira tabela contabiliza a quantidade de voos em cada uma das três rotas possíveis para cada uma das aeronaves de sua propriedade.
A segunda tabela apresenta, para cada rota possível, a duração dos voos, em horas.
Dessas duas tabelas, a empresa de táxi aéreo é capaz de apontar a quantidade total de horas de voo de cada aeronave.
A partir de então, poderá analisar uma terceira tabela na qual está, em milhares de dólares americanos, uma média mensal a ser gasta com a manutenção preventiva de cada aeronave em função do número de horas voadas naquele mês.
Diante desses dados de junho, essa empresa terá um gasto de x milhares de dólares com a manutenção de suas aeronaves.
Sobre x é correto afirmar que
a) 5\le x<9
b) 9\le x<13
c) 13\le x<17
d) x\ge 17
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GABARITO B
Primeiro, calculamos o total de horas voadas por cada aeronave.
Para o Caravan:
6\cdot 1,5+14\cdot 2+5\cdot 3=9+28+15=52
Logo, o Caravan voou 52 horas.
Para o Phenom:
12\cdot 1,5+4\cdot 2+2\cdot 3=18+8+6=32
Logo, o Phenom voou 32 horas.
Para o Eurocopter:
1\cdot 1,5+8\cdot 2+18\cdot 3=1,5+16+54=71,5
Logo, o Eurocopter voou 71,5 horas.
Agora, consultamos a tabela de manutenção.
O Caravan voou 52 horas, então está na faixa entre 40 e 60 horas. Seu custo é:
4
O Phenom voou 32 horas, então está abaixo de 40 horas. Seu custo é:
3
O Eurocopter voou 71,5 horas, então está acima de 60 horas. Seu custo é:
4
Portanto, o gasto total é:
x=4+3+4=11
Assim:
9\le x<13
QUESTÃO 24
Para entrar em uma sala, exige-se o reconhecimento em um dispositivo de segurança.
Esse dispositivo é capaz de reconhecer ou biometria facial ou digital do dedo indicador direito ou código de acesso digitado em um teclado como o desenho abaixo.
Os códigos digitados no teclado devem ter, obrigatoriamente, um bloco de 3 letras distintas, não importando sua ordem, um bloco de pares ordenados de algarismos distintos e, ainda, um símbolo.
Considere os agrupamentos matemáticos de m elementos organizados em n em \mathbb{N}^*, com m,n\in\mathbb{N} e m\le n, denominados por: combinação C_{m,n}, arranjo A_{m,n} e permutação P_m.
Assinale a alternativa que contabiliza a quantidade de todas as possibilidades de entrar nessa sala.
a) 2+P_3\cdot C_{26,3}\cdot A_{10,2}\cdot C_{21,1}
b) 2+C_{26,3}\cdot A_{10,2}\cdot A_{21,1}
c) 2\cdot A_{26,3}\cdot A_{10,2}\cdot C_{21,1}
d) 2\cdot A_{26,3}\cdot A_{10,2}\cdot A_{21,1}
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GABARITO A
O dispositivo permite três formas de acesso:
- biometria facial;
- impressão digital;
- código digitado.
As duas primeiras correspondem a duas possibilidades fixas.
Assim, contribuem com
2
Agora, vamos contar os códigos.
Bloco de letras
O código deve possuir três letras distintas e a ordem não importa.
Logo, devemos escolher três letras dentre as 26 disponíveis.
Isso corresponde a
C_{26,3}
Bloco numérico
O bloco deve ser um par ordenado de algarismos distintos.
Como existem 10 algarismos, utilizamos um arranjo:
A_{10,2}
Símbolo
Observando o teclado, existem 21 símbolos possíveis.
C_{21,1}
Total de códigos
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos também que permutar os 3 blocos
\P_{3}\cdot C_{26,3}\cdot A_{10,2}\cdot A_{21,1}
Total de possibilidades de acesso
Somando as duas formas biométricas ao número de códigos possíveis, obtemos
2+\P_{3}\cdot C_{26,3}\cdot A_{10,2}\cdot A_{21,1}
QUESTÃO 25
O número complexo x=1-i\sqrt3, com i=\sqrt{-1}, é uma das raízes do polinômio
P(x)=-x^4-10x^2+12x-40
Considere o polígono cujos vértices são os afixos das raízes de P(x), no plano de Argand-Gauss.
O volume do sólido formado pela rotação desse polígono em torno do menor de seus lados paralelos, em unidade de volume, é igual a:
a) 8\pi\left(2+\dfrac{\sqrt3}{3}\right)
b) 8\pi(3-\sqrt3)
c) \dfrac{16\pi\sqrt3}{3}
d) 16(4-\pi)
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GABARITO A
Como 1-i\sqrt3 é raiz e o polinômio possui coeficientes reais, seu conjugado também é raiz:
1+i\sqrt3
Então,
\left(x-(1-i\sqrt3)\right)\left(x-(1+i\sqrt3)\right)=x^2-2x+4
Dividindo o polinômio por esse fator, obtemos:
P(x)=-(x^2-2x+4)(x^2+2x+10)
Logo, as outras raízes vêm de:
x^2+2x+10=0
x=-1\pm3i
Assim, as raízes são:
1-i\sqrt3,\quad 1+i\sqrt3,\quad -1-3i,\quad -1+3i
No plano de Argand-Gauss, os afixos são:
katex display=true,\quad (1,\sqrt3),\quad (-1,-3),\quad (-1,3)[/katex]
Esses pontos formam um trapézio com lados paralelos verticais. O menor lado paralelo mede:
2\sqrt3
e o maior lado paralelo mede:
6
Ao girar o trapézio em torno do menor lado paralelo, o sólido formado pode ser visto como um cilindro de raio 2 e altura 6, retirando-se dois cones retos de raio 2 e altura 3-\sqrt3.
O volume do cilindro é:
V_c=\pi r^2h
V_c=\pi\cdot2^2\cdot6=24\pi
O volume de cada cone retirado é:
V_{\text{cone}}=\dfrac13\pi r^2h
V_{\text{cone}}=\dfrac13\pi\cdot2^2\cdot(3-\sqrt3)
V_{\text{cone}}=\dfrac{4\pi(3-\sqrt3)}{3}
Como são dois cones:
2V_{\text{cone}}=\dfrac{8\pi(3-\sqrt3)}{3}
Logo, o volume do sólido é:
V=24\pi-\dfrac{8\pi(3-\sqrt3)}{3}
V=\dfrac{72\pi-24\pi+8\pi\sqrt3}{3}
V=\dfrac{48\pi+8\pi\sqrt3}{3}
V=8\pi\left(2+\dfrac{\sqrt3}{3}\right)
QUESTÃO 26
Uma função real do tipo
f(t)=\frac{L}{1+e^{-k(t-t_0)}}
conhecida como curva logística, tem seu gráfico em formato de S ou sigmoide, para um tempo t, medido em anos, antes e depois de t_0.
O marco t_0, ponto de inflexão para a simetria da curva, orienta a quantidade de tempo antes e depois desse ponto.
Nessa lei, em que e é o número de Euler, temos que:
- ]-L,L[ é o intervalo de mínimo e máximo, respectivamente, da curva;
- k,k>0 é o crescimento da curva, tal como se pode observar no exemplo.
Dentre as inúmeras aplicações da curva logística está a modelagem do (de)crescimento populacional.
Suponha, então, que uma população foi observada a partir de seu decréscimo, em um intervalo de variação da população com amplitude de 70 000 indivíduos, com tendência à estabilização a partir de 10 anos.
O gráfico que melhor representa essa suposição é:
a)
b)
c)
d)
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GABARITO D
O raciocínio é:
- A população está sendo observada durante um processo de decréscimo, então o gráfico deve ser decrescente. Isso elimina b e c.
- A amplitude da variação é de 70 000 indivíduos. Como o eixo está em milhares, a diferença entre os valores de estabilização deve ser 70.
- A estabilização ocorre a partir de 10 anos, e na curva logística esse instante corresponde ao ponto de inflexão, localizado em t_0=10.
Comparando as opções restantes:
a) possui assíntotas em 35 e -35. A amplitude é 35-(-35)=70, porém o modelo passa a admitir populações negativas, o que não faz sentido para uma população.
d) decresce de aproximadamente 70 mil para 0, mantendo a população sempre não negativa, com ponto de inflexão em t=10 e amplitude 70-0=70.
Assim, o gráfico que melhor representa a situação descrita é a alternativa d).
QUESTÃO 27
Quando se escreve
\frac{a}{b}
com a,b\in\mathbb{R} e b\ne0, entende-se como razão entre a e b, nessa ordem.
Por analogia, considere as razões Q_1, Q_2 e Q_3 entre as áreas destacadas em cinza nas figuras abaixo, sendo os triângulos e os hexágonos regulares.
A relação correta entre Q_1, Q_2 e Q_3 é:
a) Q_1=Q_3>Q_2
b) Q_3<Q_2<Q_1
c) Q_3<Q_1<Q_2
d) Q_1>Q_2>Q_3
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GABARITO B
Em Q_1, comparam-se as áreas dos círculos. Na figura de cima, há 8 círculos de raio R. Na figura de baixo, há 2 círculos de raio 2R. Assim,
Agora, em Q_2, comparam-se as regiões do triângulo equilátero que ficam fora dos círculos.
Seja A a área do círculo inscrito maior e T a área do triângulo equilátero. Na figura de cima, a área cinza é
Na figura de baixo, os três círculos menores têm raio igual a \frac13 do raio do círculo maior. Logo, cada um tem área igual a \frac19 da área do círculo maior. Portanto, juntos, têm área
Assim,
Q_2=\frac{T-A}{T-\frac{A}{3}}.Como T-A<T-\frac{A}{3}, temos
Portanto,
Q_2<Q_1.Em Q_3, seja H a área do hexágono regular e B a área do círculo inscrito maior.
Na figura de cima, a área cinza é
H-B.Na figura de baixo, aparecem 6 círculos menores. Cada círculo menor tem raio igual a \frac13 do raio do círculo maior, então cada um possui área igual a \frac{B}{9}.
Logo, a soma das áreas dos seis círculos menores é
6\cdot\frac{B}{9}=\frac{2B}{3}.Assim,
Q_3=\frac{H-B}{H-\frac{2B}{3}}.Como
H-B < H-\frac{2B}{3},temos
Q_3<1.Comparando com os resultados anteriores,
Q_1=1 \quad\text{e}\quad Q_2<1.Além disso, a redução proporcional no caso do hexágono é maior que no caso do triângulo, então
Q_3<Q_2<Q_1.Portanto, a resposta é Q_3<Q_2<Q_1.
QUESTÃO 28
Um teste de balística forense será realizado com intuito de elucidar um crime no qual foi utilizada uma arma de fogo.
A priori, sabe-se que a arma utilizada pode ter sido de dois calibres diferentes: .38 ou 9\ \text{mm} Luger e, portanto, essas serão as utilizadas no teste.
No mercado de venda de armamento, as cápsulas do tipo .38 estão disponíveis em caixas com 165 unidades em cada uma, ao custo de R$ 660,00 cada caixa.
As cápsulas do tipo 9\ \text{mm} Luger estão disponíveis em caixas com 231 cápsulas cada uma, ao custo de R$ 4.840,00 cada caixa.
Para o teste, serão necessários ao menos 3003 tiros no total, e, por questões orçamentárias, o gasto total não pode ultrapassar R$ 26.000,00.
Considere x o número de caixas de cápsulas do tipo .38 e y o número de caixas de cápsulas do tipo 9\ \text{mm} Luger que serão utilizadas no teste de balística.
Se katex[/katex] é o par ordenado que atende às necessidades apresentadas para esse teste, então, necessariamente, ele deverá pertencer ao conjunto solução do sistema:
a) \begin{cases}33x+242y-91\le0\\5x+7y-1300\ge0\end{cases}
b) \begin{cases}33x+242y-91\ge0\\5x+7y-1300\le0\end{cases}
c) \begin{cases}33x+242y-1300\ge0\\5x+7y-91\le0\end{cases}
d) \begin{cases}33x+242y-91\le0\\5x+7y-1300\ge0\end{cases}
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GABARITO A
Como cada caixa do calibre .38 possui 165 cápsulas e cada caixa de 9\ \text{mm} possui 231 cápsulas, o total de tiros disponíveis será
165x+231y
Como são necessários ao menos 3003 tiros, temos:
165x+231y\ge3003
Dividindo todos os termos por 33:
5x+7y\ge91
ou seja,
5x+7y-91\ge0
Agora analisamos o custo.
Cada caixa do calibre .38 custa \text{R$}\ 660,00 e cada caixa de 9\ \text{mm} custa \text{R$}\ 4.840,00. Assim, o gasto total é
660x+4840y
Como esse gasto não pode ultrapassar \text{R$}\ 26.000,00, temos:
660x+4840y\le26000
Dividindo todos os termos por 20:
33x+242y\le1300
ou seja,
33x+242y-1300\le0
Portanto, o sistema que representa as condições do problema é:
\begin{cases}33x+242y-1300\le0\\5x+7y-91\ge0\end{cases}
QUESTÃO 29
A figura abaixo representa um período completo de uma função real f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=m+t\cdot\operatorname{sen}(p+qx)
com m,t,p,q\in\mathbb{R}.
O valor de f(m)-m pertence ao intervalo:
a) \left[0,\dfrac12\right[
b) \left[\dfrac12,1\right[
c) \left[1,\dfrac32\right[
d) \left[\dfrac32,2\right]
Ver resolução
GABARITO C
Pelo gráfico, o valor máximo da função é 5 e o valor mínimo é 1.
Logo, a reta média é
m=\dfrac{5+1}{2}=3
e a amplitude é
t=\dfrac{5-1}{2}=2
Assim,
f(x)=3+2\operatorname{sen}(p+qx)
Observando o gráfico, um período completo vai de
x=-\dfrac94
até
x=\dfrac{15}{4}
Portanto, o período é
T=\dfrac{15}{4}-\left(-\dfrac94\right)=\dfrac{24}{4}=6
Como
T=\dfrac{2\pi}{|q|}
temos
6=\dfrac{2\pi}{|q|}
|q|=\dfrac{\pi}{3}
Como o gráfico está crescendo ao passar pela reta média em x=0, podemos tomar
q=\dfrac{\pi}{3}
O máximo ocorre em x=\dfrac94. Nesse ponto,
\operatorname{sen}(p+qx)=1
Logo,
p+q\cdot\dfrac94=\dfrac{\pi}{2}
Substituindo q=\dfrac{\pi}{3}:
p+\dfrac{\pi}{3}\cdot\dfrac94=\dfrac{\pi}{2}
p+\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}
p=-\dfrac{\pi}{4}
Agora queremos calcular:
f(m)-m
Como m=3, temos:
f(m)-m=f(3)-3
f(3)-3=2\operatorname{sen}\left(-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}\cdot3\right)
f(3)-3=2\operatorname{sen}\left(-\dfrac{\pi}{4}+\pi\right)
f(3)-3=2\operatorname{sen}\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)
f(3)-3=2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}
f(3)-3=\sqrt2
Como
1<\sqrt2<\dfrac32
então
f(m)-m\in\left[1,\dfrac32\right[
QUESTÃO 30
Seja f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} uma função real do segundo grau, cujo gráfico está desenhado no plano cartesiano abaixo.
O vértice V de f tem coordenadas (x_v,y_v), e f intercepta o eixo das ordenadas em c, com c>1, e x_1 e x_2 são as raízes de f, com x_1<x_2.
Considere as funções reais g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e j:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, definidas por
A soma dos números associados aos gráficos de g, h e j é igual a
a) 9
b) 10
c) 10
d) 11
Ver resolução
ANULADA
QUESTÃO 31
Um gráfico abaixo mostra o número de horas voadas, em uma semana, pelas 8 aeronaves do Esquadrão de Instrução Aérea da Academia da Força Aérea Brasileira.
A(s) aeronave(s) que mais se aproxima(m), em horas voadas, do desvio padrão é(são) a(s) de número:
a) 1
b) 3 e 7
c) 5
d) 4 e 6
Ver resolução
GABARITO C
Pelo gráfico, as horas voadas pelas aeronaves foram:
7,\ 10,\ 8,\ 5,\ 3,\ 5,\ 8,\ 2
A média é dada por:
\overline{x}=\dfrac{7+10+8+5+3+5+8+2}{8}
\overline{x}=\dfrac{48}{8}=6
Agora calculamos os desvios em relação à média:
1,\ 4,\ 2,\ 1,\ 3,\ 1,\ 2,\ 4
Elevando ao quadrado:
1,\ 16,\ 4,\ 1,\ 9,\ 1,\ 4,\ 16
Logo, a variância é:
V=\dfrac{1+16+4+1+9+1+4+16}{8}
V=\dfrac{52}{8}=6,5
Assim, o desvio padrão é:
\sigma=\sqrt{6,5}\approx 2,55
A quantidade de horas voadas mais próxima de \sigma\approx 2,55 é 3 horas, correspondente à aeronave 5.
QUESTÃO 32
Após exaustivos testes, um fazendeiro garante que, em sua propriedade, para cada dos machos de certa espécie animal que nascem, há o nascimento de três fêmeas. O fazendeiro pretende separar ao acaso uma amostra desse rebanho para venda em um leilão, de modo que a probabilidade de se observar pelo menos uma fêmea seja superior a 95%.
Adote: \log \dfrac{1}{20}=-1,3 e \log \dfrac{2}{5}=-0,4.
O tamanho mínimo dessa amostra deve ser de:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
Ver resolução
GABARITO C
Como, para cada 2 machos, nascem 3 fêmeas, temos um total de 5 animais.
Assim, a probabilidade de nascer macho é:
P(M)=\dfrac{2}{5}
E a probabilidade de nascer fêmea é:
P(F)=\dfrac{3}{5}
Queremos que a probabilidade de haver pelo menos uma fêmea seja superior a 95%.
É mais fácil calcular o complementar, ou seja, a probabilidade de não haver nenhuma fêmea.
Se a amostra tem n animais, então:
P(\text{nenhuma fêmea})=\left(\dfrac{2}{5}\right)^n
Logo:
P(\text{pelo menos uma fêmea})=1-\left(\dfrac{2}{5}\right)^n
Queremos:
1-\left(\dfrac{2}{5}\right)^n>0,95
\left(\dfrac{2}{5}\right)^n<0,05
Como 0,05=\dfrac{1}{20}, temos:
\left(\dfrac{2}{5}\right)^n<\dfrac{1}{20}
Aplicando logaritmo:
n\cdot \log \dfrac{2}{5}<\log \dfrac{1}{20}
Substituindo os valores dados:
n\cdot (-0,4)<-1,3
Como estamos dividindo por um número negativo, invertemos o sinal da desigualdade:
n>\dfrac{-1,3}{-0,4}
n>3,25
Portanto, o menor número inteiro possível é:
n=4
Esta foi mais uma resolução comentada da prova oficial da AFA 2027. Estudar cada questão após a aplicação do exame é uma excelente oportunidade para entender o nível de exigência da banca, identificar os conteúdos mais recorrentes e aperfeiçoar a forma de resolver problemas matemáticos com rapidez e segurança.
Neste gabarito comentado, cada resolução foi apresentada de maneira detalhada, destacando o raciocínio utilizado e os principais conceitos envolvidos. Além de conferir o resultado correto, o candidato consegue compreender o caminho mais eficiente para chegar à resposta, tornando o estudo muito mais produtivo.
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